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验证、成本与局限

1. 自包含解析解：可在新仓库独立重跑

令 \(g=1,N=2,L=T=1,\eta=\gamma=0\)，入射 \(u(t)=1\)，初态 \(\alpha=0\)。定义 \(x=gNzt\)，则

\[ E(z,t)=J_0(2\sqrt{x}),\qquad \alpha(z,t)=igt\frac{J_1(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}},\qquad \left.\frac{J_1(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\right|_{x=0}=1. \]

该解析解可直接代入两条 PDE 和边界条件验证。仓库脚本 scripts/validate_public.py 在 \(17^2,33^2,65^2\) 网格上计算完整复场最大绝对误差，不依赖任何训练数据或源工程文件。同步加密空间和时间所得记录见 benchmarks/public_validation.json。

后端 网格 E 最大绝对误差 alpha 最大绝对误差 最后一级观测阶 E / alpha
marcher 17 × 17 5.1174e-4 2.6075e-4 —
marcher 33 × 33 1.2795e-4 6.5262e-5 —
marcher 65 × 65 3.1990e-5 1.6318e-5 1.99995 / 1.99974
IF2 17 × 17 5.1174e-4 2.6075e-4 —
IF2 33 × 33 1.2795e-4 6.5262e-5 —
IF2 65 × 65 3.1990e-5 1.6318e-5 1.99995 / 1.99974

解析收敛图

两后端曲线在这里重合是预期现象：\(D=0\) 时 IF2 退化为梯形时间格式。这个算例检查耦合、边界、两复场及二阶收敛，但不能单独证明高梯度相位处理的优越性。耗时仅记录为本次运行成本，不以微秒级小算例比较真实性能。

2. 测试分别验证哪些层

证据 检验内容 不能推出
贝塞尔解析解 两场耦合、零初态、非零入射、二阶收敛 全参数域精度
通用制造解与非均匀网格 核心块推进、源项、初态、真实坐标采样 实际器件物理有效性
零密度的独立 DOP853 对照 复驱动、局部相位和退相干、事件左右极限 所有高密度耦合情况
空间半离散矩阵 ODE 对照 非零耦合下 IF2 时间推进 连续空间误差已消失
复线性与边界测试 叠加关系、相位通道、初态传播 与独立参考的绝对精度
缓存前后对照 缓存不改变离散运算结果 缓存一定加速
真实 XMDS 零耦合算例 编译运行、解析高斯、复场字段、真实坐标 大参数高梯度精度
真实 XMDS 有耦合算例 同实际坐标的两复场相对 L2 误差均低于 0.5% XMDS 是无误差真值、任意问题均低于1%
XMDS 失败与覆盖保护 失败日志保留、不覆盖已有结果 任意第三方输入都可安全运行

运行非 XMDS 测试无需系统编译器；标记为 xmds 的测试缺依赖会跳过，不能把跳过算通过。CI 分开报告这两类任务。

3. 两复场误差的定义

对于同一组实际采样坐标，分别计算

\[ \epsilon_E=\frac{\|E-E_{ref}\|_2}{\|E_{ref}\|_2},\qquad \epsilon_\alpha=\frac{\|\alpha-\alpha_{ref}\|_2}{\|\alpha_{ref}\|_2}. \]

这是复数组的离散 L2 / Frobenius 范数，保留实部和虚部，不是 \(|E|\) 的误差。非均匀坐标时它不自动等于连续积分范数；如需物理加权积分必须明确权重并对所有后端一致使用。参考场为零或近零时改用明确的绝对误差，不用任意小分母制造相对指标。

“逐例两场均低于1%”比“平均误差低于1%”严格。下面历史面板使用前者，公开解析表使用最大绝对误差；两种指标不能混为一谈。

4. 历史冻结面板：不是本发行版的新测试

以下数字来自源研究工程 exp_123 的24例冻结面板（16个训练划分样本、8个开发划分样本）。这里“训练划分”只是既有数据划分名，数值求解没有训练过程。正式64例隐藏测试未解封。原始数据和参考场不随本仓库分发；可核对的源报告路径、摘要和有限汇总见 benchmarks/historical_summary.json。

配置 逐例两场 <1% 训练最大 E / alpha 开发最大 E / alpha 中位 / 最坏秒
IF2 z16 t2 24/24 0.5594% / 0.4189% 0.3532% / 0.2530% 2.970 / 4.018
IF2 z32 t2 24/24 0.5059% / 0.2708% 0.3207% / 0.2237% 5.770 / 7.839
marcher z32 t2 23/24 0.5191% / 0.3200% 0.4300% / 1.2225% 13.253 / 13.810

这些倍数依赖当时的原生/输出网格，不能直接移植为新问题的推荐常数。该面板覆盖有限，参考解自身也有精度预算；不构成“所有输入误差均小于1%”的定理。

5. 内存与 XMDS 计时口径

exp_124 对每种配置使用独立子进程，在3个代表案例上记录 ru_maxrss。IF2 z16 t2 的平均/最大峰值约0.605/0.605 GiB；marcher z16 t2 为6.762/6.763 GiB，z32 t2 为12.860/12.861 GiB。它们包含当时 Python 环境与输入数据的常驻成本，不等于本轻量发行包的最低内存需求。IF2 内存随细空间、输出和缓存增长，不是数学意义上的恒定内存。

exp_125 的一个历史 XMDS 配置：生成编译1.947秒，运行9.449秒；改变一个参数后为1.474秒和9.729秒。该配置与上述面板的网格、驱动和输出坐标不同，且当次没有同精度验收。因此不将这些时间除以 IF2 的2.970秒并宣称公平加速比。

6. 新问题的验收建议

  1. 固定方程、符号、原生驱动和真实输出坐标。
  2. 分别加密空间与时间，检查 E、alpha 两个复场；高梯度下尤其检查相位。
  3. 用更细参考或独立求解器做误差预算，确认驱动插值本身足够精确。
  4. 在相同精度门槛下测量每种方法的运行时间和峰值内存，注明编译是否计入。
  5. 保存失败、参数、版本和日志；不通过时不降低指标口径来制造成功。

本项目目前没有提供任意输入的自动误差估计器、严谨后验界或自适应精度保证。发布测试通过说明被检查的层工作正常，不能替代具体研究的数值收敛验收。