频域：用正弦扫植物

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时域看阶跃超调；频域把 $s$ 换成 $j\omega$，看植物对每个频率的正弦放大多少、落后多少相。相位裕度回答「增益再大一点会不会晃到不稳定」。根轨迹用 $K$ 搬极点，Bode 用 $\omega$ 读裕度，说的是同一条回路。二阶 $G(s)$ 见 传递函数。

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一、$G(j\omega )$ 是复数增益

稳态时，输入 $\sin (\omega t)$，输出仍是同频正弦，只是幅度变成 $|G(j\omega )|$，相位加上 $\arg G(j\omega )$。幅频习惯画

$$L(\omega )=20{\log }_{10}|G(j\omega )|(\mathrm{dB}),$$

相频画角度。对数横轴让十年频程等宽。

图解说明：上半正弦进、放大并落后相的正弦出；下半幅频过 0 dB 的频率叫穿越频率 ${\omega }_c$，该处相位距离 $-{180}^{\circ }$ 还剩多少就是相位裕度。

动画说明：$\omega$ 从低扫到高。左边输入/输出正弦，输出越来越小、越来越落后；右边游标走幅频，橙线是 0 dB 穿越 ${\omega }_c$。

相位裕度（直觉）：

$$\mathrm{PM}=\arg G(j{\omega }_c)+{180}^{\circ },|G(j{\omega }_c)|=1.$$

PM 太小，阶跃会晃；PM 为负，已经不稳定。精确定义还要约定开环还是闭环传递函数；demo 画开环 $KG(j\omega )$，并标出 $|KG|=1$ 附近的相位。

图解说明：左：同频正弦，只改振幅 $A$ 与相位 $\varphi$。右：幅频游标在穿越频率 ${\omega }_c$。

逐步推导：为什么稳态输出仍是同频正弦（点击展开）

线性时不变系统的本征函数是 $e^{st}$。令 $s=j\omega$，输入 $\mathrm{Re}(e^{j\omega t})$（即余弦/正弦），输出就是 $\mathrm{Re}(G(j\omega )e^{j\omega t})$。把复数 $G(j\omega )=|G|e^{j\varphi }$ 乘进去，得到幅度 $|G|$、相位 $\varphi$ 的同频正弦。不会出现新频率（线性）；瞬态由极点决定，衰减完只剩这一项。

Bode 的分贝：$20{\log }_{10}|G|$ 来自功率比的对数（幅度平方是功率，再乘 $10$，等于幅度乘 $20$）。穿越频率 $|KG(j{\omega }_c)|=1$ 即 $0\mathrm{dB}$。若该处相位已经到 $-{180}^{\circ }$，负反馈变成正反馈，正好在稳定边界上。相位裕度就是「离这个灾难还差多少度」。

demo：$K=8,{\omega }_n=4,\zeta =0.3$，与动画一致。

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二、代码在做什么

植物是 $K\cdot G(s)$，$G(s)={\omega }_n^2/(s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2)$，$K=8$，${\omega }_n=4$，$\zeta =0.3$。直流增益大于 $1$，幅频才会穿过 0 dB。对 logspace 上的 $\omega$ 直接代入 $s=j\omega$（Python 里 1j），算模和辐角。左图 dB，右图相位（度），虚线标穿越频率。

低频增益约 $18\mathrm{dB}$（$K=8$）；过了 ${\omega }_n$ 以约 $-40\mathrm{dB}/\mathrm{dec}$ 往下掉。相位从 $0^{\circ }$ 掉到 $-{180}^{\circ }$。穿越频率附近的相位裕度会打在图上。

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三、小结

概念	一句话
$G(j\omega )$	正弦稳态的复数增益
幅频 dB	$20{\log }_{10}|G|$
${\omega }_c$	$|G|=1$ 的穿越频率
PM	距离 $-{180}^{\circ }$ 还剩多少相
下游	现代控制改用 $A,B$ 矩阵；频域仍常用来验裕度

经典控制到此收束。下一分组 状态空间，或回去调 PID。

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参考

1. Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Design
2. Ogata, Modern Control Engineering