状态空间：植物怎样写成矩阵

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经典控制把植物压成 $G(s)$。现代控制把内部量摊开成向量 $x$，写成 $\dot{x}=Ax+Bu$。能控时可以用 $u=-Kx$ 把闭环极点放到你指定的位置。LQR 是「让代价最小」的那种 $K$，见 LQR；测不全 $x$ 时见 卡尔曼。

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一、状态方程

线性时不变：

$$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx.$$

$x$ 要长到「知道它就能预测下一步」——不是随便列几个传感器读数。双积分器 $\ddot{p}=u$（单位质量、无摩擦的牛顿第二定律）取 $x=[p,\dot{p}{]}^{\mathrm{\top }}$：位置不够，还要速度，否则下一步的位置你猜不出。

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$$

读法：$A$ 的第一行说「位置的导数是速度」；第二行说「加速度与状态无关，只等 $u$」。无控制时 $\ddot{p}=0$，位置匀速漂。反馈 $u=-Kx$ 把系统变成 $\dot{x}=(A-BK)x$。

图解说明：左是状态反馈回路；中是把开环极点（积分器堆在原点）搬到希望的闭环极点；右是能控性矩阵满秩才能任意搬。

能控性矩阵（单输入，$n=2$）

$$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{cc}B& AB\end{array}\right].$$

$\mathrm{rank}\mathcal{C}=n$ 才能任意配置极点。demo 的双积分器

$$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],$$

秩为 $2$（列是 $B$ 与 $AB$，不是单位阵，但满秩同样能控）。直观：$u$ 直接推加速度，加速度积分出速度，速度积分出位置——两个通道都能从输入够到，没有「怎么用力都动不了」的隐状态。

保姆级数字例。 初值 $x(0)=[1,0.8{]}^{\mathrm{\top }}$。无控制时 $\dot{p}=0.8$ 恒定，$t=4$ 时位置应大约 $1+0.8\times 4=4.2$（欧拉会有一点点离散误差）。闭环把极点放在 $-2,-3$，两端都按指数 $e^{-2t}$、$e^{-3t}$ 收，到 $t=4$ 时 $e^{-8}$ 已经 $\approx 3\times {10}^{-4}$，位置、速度都应几乎回到原点。

卡点。 能控不是「传感器够不够」，那是能观。能控问的是：输入的手能不能摸到每一个状态方向。两台完全相同的质量并联、却共用一个力，差模方向往往不能控。另一个卡点：$u=-Kx$ 默认你量得到全部 $x$。量不到就要估计，那是卡尔曼的工作；硬把输出反馈当成状态反馈，极点不一定还能随便放。

逐步推导：双积分器怎样写成 $\dot{x}=Ax+Bu$，以及 $[BAB]$ 为何满秩（点击展开）

牛顿：$m\ddot{p}=u$，demo 取 $m=1$，即 $\ddot{p}=u$。引入 $x_1=p$、$x_2=\dot{p}$，则

$${\dot{x}}_1=x_2,{\dot{x}}_2=u.$$

矩阵形式

$$\left(\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)u.$$

这就是 $A$、$B$。开环特征值：$det(sI-A)=s^2=0$，双重极点在原点——积分器堆叠，不渐近稳定，初速会让位置直线漂走。

能控性：$AB=A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$，于是

$$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right].$$

两列线性无关（已经是交换了的单位阵），$det\mathcal{C}=-1\ne 0$，秩 $2$。PBH 检验说同样的话：对每个特征值 $\lambda$，矩阵 $[\lambda I-AB]$ 要行满秩。这里 $\lambda =0$，$[-AB]=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，行秩 $2$，没有藏起来的不能控模态。

若把 $B$ 改成 $[1,0{]}^{\mathrm{\top }}$（力加在位置通道、不经加速度——物理上奇怪），则 $AB=0$，$\mathcal{C}$ 秩 $1$，速度方向摸不到，极点不能任意配。

一般 $n$ 维单输入：$\mathcal{C}=[B,AB,\dots ,A^{n-1}B]$。多输入把这些块横着拼。满秩是「存在某个 $K$ 把极点放到任意指定位置（共轭对称）」的充分必要条件。

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二、二阶 companion 的手算 $K$

$A-BK$ 在这个 $(A,B)$ 上是

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -k_1& -k_2\end{array}\right),$$

特征多项式 $s^2+k_{2}s+k_1$。希望极点 $-2,-3$ 则

$$(s+2)(s+3)=s^2+5s+6⟹K=[6,5].$$

更高阶用 Ackermann 公式；本章不调用控制工具箱。

保姆级读法。 $K=[k_1,k_2]$ 就是 $u=-k_{1}p-k_2\dot{p}$：第一项像弹簧（把位置拉回 $0$），第二项像阻尼。希望的特征多项式 $s^2+5s+6$ 规定弹簧系数 $6$、阻尼系数 $5$。对应 ${\omega }_n=\sqrt{6}\approx 2.45$，$\zeta =5/(2\sqrt{6})\approx 1.02$，几乎临界阻尼——所以闭环曲线几乎不晃，一截就按回原点。

卡点。 极点越往左（越大的 $|\mathrm{Re}|$），$K$ 越大，执行器越容易饱和，对模型误差也越敏感。「能放到 $-100,-101$」不等于应该放。LQR 用 $Q,R$ 问「状态误差和用力哪个贵」，往往比手填极点老实。另一个卡点：离散实现 $x\leftarrow x+\mathrm{\Delta }t(Ax+Bu)$ 会把连续极点搬歪；demo $\mathrm{\Delta }t=0.02$、极点 $-2,-3$ 时误差很小，终端打印的特征值应仍接近 $-2,-3$。

逐步推导：希望极点 $-2,-3$ 怎样得到 $K=[6,5]$（点击展开）

状态反馈 $u=-Kx=-k_1{x}_1-k_2{x}_2$。代入 $\dot{x}=Ax+Bu$：

$$A-BK=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -k_1& -k_2\end{array}\right).$$

特征多项式

$$det(sI-(A-BK))=det\left(\begin{array}{cc}s& -1\\ k_1& s+k_2\end{array}\right)=s(s+k_2)+k_1=s^2+k_{2}s+k_1.$$

希望闭环特征多项式 $(s+2)(s+3)=s^2+5s+6$。比较系数：$k_1=6$、$k_2=5$，即 $K=[6,5]$。这是 companion 形的便宜之处：最后一行正好是特征多项式系数（差个符号）。

一般二阶希望极点 $-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$ 时，$k_1={\omega }_n^2$、$k_2=2\zeta {\omega }_n$，和导论里标准形同一套字母。本章选两个实极点，只是为了手算干净。

Ackermann（备查，不必在 demo 里实现）：指定希望特征多项式 $\alpha (s)$，则

$$K=e_n^{\mathrm{\top }}{\mathcal{C}}^{-1}\alpha (A),$$

其中 $e_n$ 是最后一个单位向量。$n=2$ 时它还原成上面的系数匹配。

无控制 vs 闭环的欧拉积分同一初值、同一 $\mathrm{\Delta }t=0.02$，积到 $T=4$。开环位置直线漂；闭环 $A-BK$ 的特征值应打印成接近 $-2,-3$。

图解说明：灰线无控制，位置随初速 $0.8$ 漂走、速度保持。蓝线 $u=-Kx$，位置和速度一起按回 $0$。

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三、代码在做什么

demo.py 打印 $\mathcal{C}$ 的秩，用欧拉积分同一初值 $x=[1,0.8{]}^{\mathrm{\top }}$：无控制 vs $u=-Kx$。左图位置，右图速度。开环匀速漂走；闭环极点在 $-2,-3$，把位置和速度一起按回原点。

开环位置直线漂；闭环把位置和速度一起按回去。终端打印 $A-BK$ 的特征值，应接近 $-2,-3$。

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四、小结

概念	一句话
$x$	预测下一步所需的内部向量
$A,B$	自由演化和「$u$ 往哪推」
能控	$\mathrm{rank}[B,AB,\dots ]=n$；双积分器 $\mathcal{C}$ 秩 $2$
$u=-Kx$	闭环矩阵 $A-BK$；希望 $-2,-3$ 则 $K=[6,5]$
下游	LQR 用 $Q,R$ 代替「先指定极点」

下一章 LQR。经典侧对照 根轨迹：那边扫一个标量 $K$，这边一次给出向量 $K$。

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参考

1. Chen, Linear System Theory and Design（能控 / 极点配置）
2. 上一章分组首页 现代控制