状态空间 — demo.py 代码详解

运行方式

bash

cd docs/control/modern/state-space/code
python demo.py

CPU、NumPy 即可。一张图 pole_place.png：双积分器 $\ddot{p} = u$ 从 $x = [1, 0.8]$ 出发，无控制 vs $u = - K x$ 。 $K = [6, 5]$ 把闭环极点放到 $- 2, - 3$ 。

python

A = np.array([[0.0, 1.0], [0.0, 0.0]])
B = np.array([[0.0], [1.0]])
K = np.array([[6.0, 5.0]])
X0 = np.array([1.0, 0.8])  # 初速不为 0，开环才会漂

A $2 \times 2$ ： $\dot{p} = v$ ， $\dot{v} = 0$ （无控制）。
B 写成列 形状 (2,1)。后面 B @ K 才是 $2 \times 2$ ；若 B 写成一维 (2,)，B @ K 对不上。
K 写成行 (1,2)： $- K x$ 是标量。希望 $(s + 2) (s + 3) = s^{2} + 5 s + 6$ ，故 $k_{1} = 6, k_{2} = 5$ 。
初速 $0.8$ ：无控制时位置 $p (t) = 1 + 0.8 t$ 直线漂。若初速为 $0$ ，开环位置钉死在 $1$ ，对照看不出反馈在干活。

A @ x：x 是一维长度 2，结果也是一维长度 2。

python

def controllability_matrix(A, B):
    return np.hstack([B, A @ B])

A @ B： $A B$ ，形状 (2,1)。
np.hstack：按列拼 [B, AB]。本例是 $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ ，秩 $2$ ，不是单位阵。
np.linalg.matrix_rank：数值秩。满秩 ⇒ 可以任意配置极点。缺秩时 $K$ 怎么调都搬不动藏起来的模态。

python

u = float((-K @ x).item()) if use_feedback else 0.0
xdot = A @ x + B.ravel() * u
x = x + DT * xdot

(-K @ x) 形状 (1,)。.item() 取出 Python 标量。以前用 float(K @ x) 在一维结果上会 TypeError，必须 .item()。
B.ravel()：(2,1) 拉成 (2,)，才能和一维 xdot 相加。
显式欧拉 x ← x+Δt ẋ。步长 0.02、极点在 $- 3$ 附近够用。

np.linalg.eigvals(A - B @ K) 应打印约 -2 和 -3（顺序不一定）。开环 A 的两个特征值都是 $0$ 。

xs.append(x.copy())：必须 .copy()。x 是同一块内存，只 append 引用的话，列表里每一帧最后都会变成终态。

clone 后打开（相对仓库根目录）：

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