积分与基本定理：把薄片叠起来，求导的逆运算

WARNING

🧪 Beta公测版本提示：教程主体已完成，正在优化细节，欢迎大家提Issue反馈问题或建议。

导数问「此刻多快」。积分问另一句：这些快慢加起来，一共走了多远？ 几何上像面积，本质上是累加。微积分基本定理说：累加出来的函数，再求导，会回到被加的那一层——速度积分成路程，路程对时间求导又变回速度。前置：导数与微分。

---

一、积分是累加，面积只是它的样子

把 $[a,b]$ 切成 $n$ 段，每段宽 $\mathrm{\Delta }x$，第 $i$ 段上用一个高度 $f(x_i)$ 当「这段里差不多这么高」，于是

$$\sum _{i}f(x_i)\mathrm{\Delta }x.$$

这是黎曼和。$\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时（在 $f$ 连续的前提下）和稳定下来，写成

$${\int }_a^{b}f(x)dx.$$

$dx$ 还是上一章那个「一小步」；积分号是拉长的 S，表示 Sum。若 $f$ 是速度，$f(x_i)\mathrm{\Delta }x$ 就是这一小段时间走的路，总和就是净位移。曲线下的面积，只是这套累加的几何投影：高×宽，再加起来。

$f$ 为负时「面积」算成负的——因为往回走。净变化可以正可以负；真正的几何面积要再取绝对值，那是另一道题。

图解说明：左是粗柱子，中是细柱子贴向面积；右是速度表与路程条互为逆运算。底栏：原函数记住「累加到这里一共多少」。

demo 对 $x^2$ 在 $[0,1]$ 上画 $n=4,8,20$ 的左黎曼和，真值是 $1/3\approx 0.333$。柱子变瘦，和往 $1/3$ 靠。

图解说明：左：黎曼柱子逼近面积。右：求导与积分是一对逆机器，基本定理说两端相减得到净变化。

逐步推导：黎曼和到 ${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x=1/3$，以及基本定理（点击展开）

左黎曼：$x_i=i/n$，$i=0,\dots ,n-1$，$\mathrm{\Delta }x=1/n$，

$$\sum _{i=0}^{n-1}(\frac{i}{n}{)}^2\frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\sum i^2=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\to \frac{1}{3}.$$

（用了 $\sum _{i=1}^m{i}^2=m(m+1)(2m+1)/6$，这里 $m=n-1$，再令 $n\to \mathrm{\infty }$。）

基本定理直觉。 令 $F(x)={\int }_a^{x}f$。$F(x+h)-F(x)$ 是 $[x,x+h]$ 上新加的那一薄片，高度约 $f(x)$、宽 $h$，所以 $[F(x+h)-F(x)]/h\approx f(x)$。$h\to 0$ 即 $F^{\prime }=f$。另一半：若 $G^{\prime }=f$，则 $G$ 与 $F$ 只差常数，于是 ${\int }_a^{b}f=G(b)-G(a)$。速度积成路程、路程求导变回速度，是同一句话。

---

二、原函数与微积分基本定理

不定积分问：谁的导数是 $f$？这样的 $F$ 叫 $f$ 的一个原函数（可以差一个常数 $C$，因为常数求导为零）。

微积分基本定理有两半，合成一句人话：

（1）边走边累加，累加结果对终点求导，得到此刻的被积函数。

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x).$$

（2）净变化 = 原函数在两端的差——不必真的去加一万个薄片：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),F^{\prime }=f.$$

这就是为什么积分表有用：一旦认出 $F$，面积（净变化）变成两次求值。认不出 $F$ 时——多数工程公式如此——就退回数值累加（梯形、辛普森、高斯求积）。符号积分比符号微分难得多：微分有机械链式法则，积分没有「保证能找到初等原函数」的算法。C++ 课里我们只做两件能做的：多项式逐项积分，以及把 $f$ 当黑盒的梯形法则。

---

三、C++ 怎么给「公式」积分

路	做法	适用
多项式系数	$c_k{x}^k\mapsto c_k{x}^{k+1}/(k+1)$，再 $F(b)-F(a)$	多项式，精确
梯形法则	把区间切成 $n$ 段，每段用梯形面积	任意可调用的 $f$
对偶数帮不上积分	对偶数一次走的是导数不是原函数	积分请用上面两条

1. 多项式逐项

$$\int (\sum c_k{x}^k)dx=\sum c_k\frac{x^{k+1}}{k+1}+C.$$

quad.hpp 里 poly_int 令常数项 $C=0$，于是 ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ 就是 poly_eval(P,1)-poly_eval(P,0)，应印出 $1/3$。

2. 复合梯形

每段用左右高度的平均，等价于

$${\int }_a^{b}f\approx \frac{h}{2}(f(a)+f(b))+h\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih),h=\frac{b-a}{n}.$$

对直线，梯形是精确的（练习里用 $2x+1$ 检查）。对 $x^2$，误差随 $n^2$ 下降：demo 里 $n=4,16,64$ 会看到误差掉两档。$n$ 再大，同样会碰到浮点累加噪声，但比数值微分那条「$h$ 太小就炸」的曲线温和。

辛普森把每两段用抛物线接，对光滑 $f$ 更准；思想仍是「用简单形状的面积代替真曲线」。本课梯形足够。

cd docs/math/integral/code
python demo.py
g++ -std=c++17 demo.cpp -o int_demo

右图用梯形做出 $F(x)={\int }_0^x{t}^{2}dt$，再对 $F$ 做数值求导，应贴回 $x^2$——这就是基本定理的实验版。

---

四、小结

概念	一句话
黎曼和	高×宽再加；积分是它的极限
定积分	从 $a$ 到 $b$ 的净累加
原函数 $F$	$F^{\prime }=f$；可差常数
基本定理	累加再求导回到 $f$；$F(b)-F(a)$ 代替求和
梯形	黑盒 $f$ 的默认数值积分
下游	期望是「按密度积分」、优化 里的损失累加、物理里的功与通量

下一章 线性代数直觉：切线那一招在多变量里变成矩阵 $A$；变化是线性的，不必再取极限。

📥 Code

File	View	Download
demo.py	Open	Download
quad.hpp	—	Download
demo.cpp	—	Download
exercise.py	Open	Download

参考

1. Thompson, Calculus Made Easy
2. 3Blue1Brown, Essence of calculus（积分篇）
3. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis（梯形与误差）