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积分与基本定理 — Python / C++ 代码详解

Download demo.pyDownload quad.hppDownload demo.cpp

运行方式

cd docs/math/integral/code
python demo.py
g++ -std=c++17 demo.cpp -o int_demo

两张图：int_riemann.png（左黎曼柱）、int_ftc.png（累加得到 $F$，再求导贴回 $f$）。C++ 多项式积分应精确到 $1/3$，梯形 $n=4,16,64$ 误差递减。

代码逐段详解（Python）

第1步：左黎曼和 — align='edge'

h = (b - a) / n
xs = a + h * np.arange(n)
return float(np.sum(f(xs) * h)), xs, h

每个柱子的左端当高度。bar(..., align='edge') 让柱子从 xs 往右长宽 $h$，否则默认居中会错位。$x^2$ 在 $[0,1]$ 递增，左黎曼偏低，所以 $n=4$ 的和明显小于 $1/3$，这是特性不是 bug。

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第2步：梯形

xs = np.linspace(a, b, n + 1)  # n 段 → n+1 个点
h * (0.5 * ys[0] + 0.5 * ys[-1] + np.sum(ys[1:-1]))

两端各算一半，中间算整份。与 C++ trapezoid 同一公式。对 $x^2$ 仍略偏高（凸函数的弦在曲线上方）。

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第3步：FTC 实验

F_num = np.array([trapezoid(0.0, x, 40) if x > 0 else 0.0 for x in xs])
dF = np.gradient(F_num, xs)

每个 $x$ 都从 $0$ 积到 $x$，得到一条近似原函数。np.gradient 是对数组的中心差分，应对准 $x^2$。两端差分改单侧，所以图的两端会略歪——中间才是基本定理该看的地方。

列表推导里 $x=0$ 单独返回 0，避免 n 段积零宽区间。trapezoid(0, x, 40) 在 $x$ 很小时空步 $h=x/40$ 仍合法。

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C++：quad.hpp

poly_int：q.c[i+1] = p.c[i] / (i+1)，q.c[0]=0。次数加一，注意 POLY_MAX 别撑破。

trapezoid 的循环是 i=1; i<n，两端在循环外各算半份。n 是段数不是点数。demo.cpp 用长度为 3 的数组扫 n=4,16,64，避免某些环境下花括号列表还要 #include <initializer_list>。

源码位置

• docs/math/integral/code/demo.py
• docs/math/integral/code/quad.hpp
• docs/math/integral/code/demo.cpp