机构学：杆件怎么连、有几个自由度

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前面几章默认「开链手臂」：一端钉死，另一端自由。机构学问更老的机械问题：若干杆用铰链连成闭链之后，还能动几下？最经典的答案是平面铰链四杆——自由度 $1$，曲柄转一圈，连杆上一点画出封闭曲线。开链几何仍见 运动学。导论里的 $M$ 在这里变成可计算的公式。

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一、通俗理解：闭链少了自由，多了「必须闭得上」

开链 2R：两个电机，手在平面里差不多能去圆环里任意点（姿态另说）。
若再加一根杆把手当成铰链钉回地面，手不能再随便走，整圈机构往往只剩一个独立转动——摇一摇曲柄，所有杆的姿态都被代数钉死。

这就是闭链：约束方程个数增加，自由度下降，但结构更刚、力传递可以更直接（冲压机、雨刮、仿生腿里的平行四杆）。代价是位置分析要解「环闭合」，不是 FK 连乘那么顺。

图解说明：机架 $AD$，曲柄（蓝）绕 $A$ 整周转，连杆（绿）带偶联点曲线，摇杆（紫）绕 $D$ 摆。四个铰链。自由度 $1$，一个主动输入决定整机。

动画说明：曲柄整周转一圈，摇杆只摆；橙色偶联点扫出封闭曲线。$M=3(N-1)-2J_1=1$。

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二、Gruebler：保姆级数自由度

平面刚体每个有 $3$ 个自由度（$x,y,\theta$）。$N$ 个构件（含机架）用 $J_1$ 个单自由度低副（铰链或滑块）连起来：

$$M=3(N-1)-2J_1.$$

为什么是 $N-1$：机架已经钉死，先扣掉 $3$ 个自由度。每个铰链再扣 $2$ 个（只留相对转动这 $1$ 个）。

四杆：$N=4,J_1=4$，于是 $M=3\cdot 3-8=1$。
有的教材令 $N$ 只计活动构件（此时 $N=3$），写成 $M=3N-2J_1$，数字一样。demo 与练习用第一种。

再练两个：

机构	$N$（含机架）	$J_1$	$M$
开链 2R（基座+两杆）	3	2	$3\cdot 2-4=2$
铰链四杆	4	4	$1$
滑块曲柄（三个转动 + 一个移动，都是低副）	4	4	$1$
平面五杆（两输入）	5	5	$2$

$M=1$ 的含义：指定曲柄角 $\theta$，其余姿态（在某一装配模式下）被钉死。$M=0$ 是桁架，不能动。$M<0$ 是静不定，多装了杆。Gruebler 是必要但不充分：特殊杆长可能出现「局部自由度」或「虚约束」（平行四边形多一个约束实际相关），公式会骗人，还要看几何。

逐步推导：Gruebler $M=3(N-1)-2J_1$ 每项的含义（点击展开）

平面每个自由刚体 $3$ 个自由度。$N$ 个构件里有一个是机架，已经钉死，剩下 $N-1$ 个活动件，先给 $3(N-1)$ 个「如果互不连接」的自由度。

每个低副（转动副或移动副）只允许 $1$ 种相对运动，等于把相对的 $3$ 个自由度扣掉 $2$ 个。$J_1$ 个低副共扣 $2J_1$。于是

$$M=3(N-1)-2J_1.$$

四杆：$N=4,J_1=4$，$M=9-8=1$。开链 2R：基座+两杆 $N=3$，两个铰链 $J_1=2$，$M=6-4=2$，与导论一致。

高副（凸轮、齿轮接触）只扣 $1$ 个自由度，完整公式还有 $-J_2$ 项。本课四杆全是低副。虚约束：几何上两个约束描述的是同一件事（平行四边形对边平行），公式多扣了一次，算出的 $M$ 偏小——这时要靠几何而不是盲目信公式。

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三、Grashof：谁能转整圈

四杆杆长 $s\le l$ 为最短、最长，另两根 $p,q$。Grashof：$s+l\le p+q$ 时至少有一根能相对另一根整周转。

• 最短杆为机架的邻边（曲柄）：曲柄摇杆——一侧转圈，一侧摆。demo 就是这种。
• 最短杆为机架：双曲柄。
• 最短杆为连杆：摇杆-摇杆（双摇杆），没有整周转。
• 不满足 Grashof：双摇杆，更「僵」。

demo 机架 / 曲柄 / 连杆 / 摇杆 $=1.4,0.45,1.1,0.9$。最短 $0.45$ + 最长 $1.4$ $=1.85$，$1.1+0.9=2.0\ge 1.85$，且最短是曲柄，故曲柄摇杆。

图解说明：左：满足 $s+\ell \le p+q$ 的曲柄摇杆，曲柄整周转、摇杆只摆。右：不满足时双摇杆。中：环闭合向量和为零。

逐步推导：位置分析为什么是「两圆相交」（点击展开）

机架两端 $A_{\text{铰}}$（曲柄轴）与 $D$（摇杆轴）固定。曲柄长 $L_1$，角 $\theta$ 已知，则曲柄末端 $A$ 为

$$A=A_{\text{铰}}+L_1(\cos \theta ,\sin \theta ).$$

连杆长 $L_2$，摇杆长 $L_3$。未知点 $B$（摇杆与连杆的铰）必须同时落在：以 $A$ 为心半径 $L_2$ 的圆，以及以 $D$ 为心半径 $L_3$ 的圆。两圆交点公式：先连心线 $D-A$，长度 $d$；若 $|L_2-L_3|\le d\le L_2+L_3$ 才有实交点。沿连心线走到 $h$ 处再沿法向走 $\pm h_{\perp }$，两个符号就是开式 / 交叉装配。

这与 运动学 逆解「两圆交肘」是同一幅图，只是这里两圆心都随曲柄在动，而且必须闭成四边形。

死点：曲柄与连杆共线时，两圆心距走到极限 $L_2\pm L_1$ 一类配置，交点重合，传动角为 $0$，切向速度无法从曲柄传到摇杆。

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四、位置分析：两圆相交（逐步）

已知曲柄角，曲柄端 $A$ 的位置由 $\theta$ 直接写出。求连杆另一端 $B$，使

$$|B-A|=L_2,|B-D|=L_3$$

——分别以 $A$、$D$ 为圆心的两圆交点。一般两个交点，对应开式 / 交叉两种装配。代码取叉积为正的那一支（法向 $n$ 由 $D-A$ 逆时针转 ${90}^{\circ }$）。交点不存在：这一步的死点或杆长不可达（曲柄转过了极限）。

死点：曲柄与连杆共线，驱动力沿杆走，对摇杆瞬时力臂为 0，打滑或卡死。冲压机有时故意过死点「锁紧」。

偶联点可取连杆上任意固连点；demo 用中点 $P=(A+B)/2$，扫 $\theta \in [0,2\pi )$ 得到封闭曲线。改变 $P$ 在连杆上的位置，曲线可以从香蕉变成 8 字——这是机构综合的入口，本课只展示一条。

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五、和开链章节的关系

四杆的「位置分析」就是带约束的运动学。若把摇杆拆掉，剩下开链，正运动学 立刻多一个自由关节。把瞬时速度写成旋量，见 旋量。真实机器人里平行四杆、差动、五杆并联都是机构学的后代；ROS 2 的 URDF 闭链要用 mimic 或单独运动学插件，不会自动解环。

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六、常见疑问

Q：为什么我算的 $M$ 和直觉不符？
查是否把机架算进 $N$；是否把滚动、凸轮等高副当成了低副（高副只扣 $1$ 个自由度，公式要改）。平行四边形有虚约束。

Q：装配模式能不能中途切换？
连续运动一般不能从开式跳到交叉，除非经过不可达或拆开再装。轨迹规划必须锁死装配支。

Q：传动角是什么？
连杆与摇杆夹角离 ${90}^{\circ }$ 越近，传力越好；太小则费力、易卡。设计四杆时常设最小传动角下限。

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七、代码在做什么

demo.py 先打印 Gruebler 应为 $1$，再扫一圈曲柄，画偶联点轨迹，并在 $\theta \approx 0.7$ 处叠一幅连杆快照 fourbar.png。

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八、小结

概念	一句话
Gruebler	平面 $M=3(N-1)-2J_1$；四杆 $=1$
Grashof	谁能整周转；曲柄摇杆 vs 双摇杆
环闭合	两圆相交定 $B$；两支装配
死点	共线，瞬时传力臂为 0
偶联曲线	连杆固连点扫出的轨迹
下游	并联机构、仿生腿、传动设计

下一章 旋量：瞬时运动不再逐点写速度，而写成「绕某轴转并沿轴挪」。李群上的有限转动见 SO(3)。

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参考

1. Norton, Design of Machinery（四杆、Grashof、传动角）
2. McCarthy, Geometric Design of Linkages