传递函数：极点怎样决定阶跃

WARNING

🧪 Beta公测版本提示：教程主体已完成，正在优化细节，欢迎大家提Issue反馈问题或建议。

拉普拉斯把微分方程变成代数：$Y(s)=G(s)U(s)$。你不必在本章做围道积分；只要记住 $G(s)$ 的极点 = 特征根，二阶阻尼 $\zeta$ 几乎写尽时域样子。PID 是在回路里塞一个具体的 $C(s)$，见 PID；增益扫极点见 根轨迹。

---

一、$G(s)$ 是一张因果表

线性时不变植物可以用传递函数

$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$$

描述（零初始）。$s$ 是复数频率。分母的根叫极点，分子的根叫零点。左半平面极点 → 自由响应衰减；右半平面 → 发散；虚轴 → 等幅振荡（边际）。

标准二阶：

$$G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}.$$

单位阶跃 $R(s)=1/s$ 时，输出形状几乎只由 $\zeta$ 决定。

图解说明：左是 $Y=GR$；中是 $s$ 平面，左半稳定、右半不稳定，复极点的辐角与 $\zeta$ 有关；右是过阻尼 / 欠阻尼 / 无阻尼三种阶跃素描。

动画说明：${\omega }_n=3$ 固定，只改 $\zeta$。过阻尼不晃；欠阻尼越来越晃。虚线是 $r=1$。

图解说明：${\omega }_n$ 固定时，$\zeta >1$ 不晃，$\zeta =1$ 刚好不超调，$\zeta <1$ 振荡衰减。$s$ 平面上极点随 $\zeta$ 张开。

逐步推导：标准二阶的极点怎样写成 $\zeta ,{\omega }_n$（点击展开）

特征方程 $s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$，求根公式：

$$s=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}.$$

• $\zeta >1$：两个负实根，过阻尼。
• $\zeta =1$：重根 $-{\omega }_n$。
• $0\le \zeta <1$：共轭复根 $-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$。实部决定包络 $e^{-\zeta {\omega }_{n}t}$，虚部是振荡频率。$\zeta$ 越小，极点越靠近虚轴，晃得越久。

单位阶跃 $U=1/s$，$Y=G/s$。反演不必手算：demo 直接积

$$\ddot{y}+2\zeta {\omega }_n\dot{y}+{\omega }_n^{2}y={\omega }_n^{2}r.$$

超调近似 $\sigma \approx \exp (-\zeta \pi /\sqrt{1-{\zeta }^2})$ 来自复极点的冲激响应包络在第一个峰的取值。$\zeta =0$ 时指数不衰减，等幅振荡。

---

二、阻尼比对照表

$\zeta$	名字	阶跃
$>1$	过阻尼	不超调，较慢
$=1$	临界	刚好不振荡的最快无超调
$(0,1)$	欠阻尼	超调后衰减振荡
$=0$	无阻尼	等幅振荡
$<0$	负阻尼	发散（极点在右半平面）

超调量（欠阻尼）有近似

$$\sigma \approx \exp (-\frac{\zeta \pi }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}).$$

demo 不套这公式，直接积分 ODE，再量 $maxy-r$。

---

三、代码在做什么

demo.py 固定 ${\omega }_n=3$，扫描 $\zeta \in \{1.5,1.0,0.4,0.15\}$，欧拉积分标准二阶，画阶跃并打印超调。图里没有拉普拉斯反演：传递函数只用来提醒「我们积的就是 $G(s)$ 对应的微分方程」。

$\zeta =1.5$ 最肉；$\zeta =1$ 贴着临界；$\zeta =0.4$ 有一截超调；$\zeta =0.15$ 晃好几下才停。

---

四、小结

概念	一句话
$G(s)$	零初始下 $Y=GU$
极点	分母的根，决定稳不稳、晃不晃
$\zeta$	二阶阻尼比，时域「性格」
下游	PID 把 $C(s)$ 接进回路

下一章 PID 或跳到 根轨迹。

📥 Code

File	View	Download
demo.py	Open	Download
exercise.py	Open	Download

参考

1. Ogata, Modern Control Engineering（二阶阶跃与 $\zeta$）
2. 上一章 控制论导论