根轨迹：增益变了，极点往哪走

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比例控制器 $C(s)=K$ 接在植物 $G(s)$ 前面、单位反馈时，闭环极点满足 $1+KG(s)=0$。根轨迹就是把 $K$ 从 $0$ 扫到很大，在 $s$ 平面画出这些根的路。它不是时域曲线。时域直觉见 传递函数；频域裕度见 Bode。

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一、特征方程

demo 用教科书常客

$$G(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+3)},1+KG(s)=0,$$

展开成

$$s^3+4s^2+3s+K=0.$$

$K=0$ 时根就是开环极点 $0,-1,-3$。$K$ 增大，根离开这些点；有的沿实轴对撞后变成共轭复根，再进入右半平面——那就是「增益太大系统会晃到不稳定」。

图解说明：左是 $K$ 套在 $G(s)$ 上的单位反馈；右是 $s$ 平面上 $K\uparrow$ 时极点离开开环极点（叉号）的轨迹。虚轴是稳定边界。

动画说明：三条根随 $K$ 从 0 走到 40。还在左半平面时稳定；有根贴上或越过虚轴就开始振荡发散。

规则（本课够用的几条）：分支数 = 极点数；起点是开环极点；终点是开环零点或无穷远。完整 Evans 规则（渐近线夹角、出射角）可查 Ogata，demo 用 np.roots 硬算多项式，不背规则。

图解说明：$s$ 平面上三条分支从开环极点出发。$K$ 增大后有的进入右半平面，系统失稳。

逐步推导：从 $1+KG(s)=0$ 到三次多项式（点击展开）

$G(s)=1/[s(s+1)(s+3)]$，单位反馈特征方程 $1+KG=0$ 即

$$s(s+1)(s+3)+K=0.$$

展开 $s(s^2+4s+3)+K=s^3+4s^2+3s+K=0$。$K$ 只出现在常数项：它把「开环极点」推离原处。$K=0$ 时根就是 $0,-1,-3$。对每个 $K$ 用求根（demo 的 np.roots）得到三个复数，描在 $s$ 平面上就是根轨迹。

稳定：所有根实部 $<0$。某条分支穿过虚轴时出现 $s=\pm j\omega$ 的根，对应等幅振荡，再大就发散。这就是「增益不能无限加大」的几何版。

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二、代码在做什么

demo.py 对一串 $K$ 求三次多项式的三个根，把实部、虚部撒在 $s$ 平面上，颜色表示 $K$ 大小。终端打印几个代表 $K$ 的根，以及「最大仍全在左半平面」的 $K$ 粗略值。

你会看到一条沿负实轴，另外两条在某个 $K$ 之后离开实轴、虚部变大，再穿过虚轴。穿过虚轴之后闭环会振荡发散。

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三、小结

概念	一句话
$1+KG=0$	比例闭环的特征方程
根轨迹	$K$ 变时闭环极点的几何轨迹
虚轴	稳定边界；跨过去就发散
下游	频域 用 Bode 看同一件事

下一章 频域分析。现代侧把「搬极点」写成配置 $K$ 矩阵，见 状态空间。

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参考

1. Evans, root-locus 方法
2. Ogata, Modern Control Engineering