量子网络：把纠缠送到远方

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量子网络的核心资源不是「更快的网线」，而是可分发的纠缠。有了共享 Bell 对，就可以传未知态、做纠缠交换、并给密钥分发提供物理层约束。

前置：量子计算（Bell 态、测量）。存储章解释为什么中继节点需要把光子写进物质。需要把传态修正或 BB84 误码算一遍时，点开「逐步推导」。

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一、纠缠是一种可以搬运的相关

Bell 态 $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩=(|00⟩+|11⟩)/\sqrt{2}$ 的性质：

• 单独看 Alice 的比特，测量 0/1 各一半（局域随机）；
• 一旦 Alice 得到 0，Bob 再测一定是 0（完美关联）。

这种关联不能用事先约定的经典随机数完全伪造到任意测量基。网络工程师关心的是：如何让相距很远的两方稳定地持有这样一对。

光纤会丢光子、会引入噪声，直接「扔一个纠缠光子对过去」距离有限。于是需要中继、存储、交换。

保姆级：相关 ≠ 能通信。 Alice 测量她那一半，得到随机比特，Bob 那边同时「确定了」，但 Alice 若不打电话，Bob 不知道该看哪一次结果、也不知道自己该不该做 $X$ 门。传态和 QKD 都还要一条经典信道。纠缠提供的是非经典相关，不是超光速传文件。

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二、隐形传态：拆开「传态」两个字

量子隐形传态（teleportation）不传输物质，只传输未知态 $|\psi ⟩$ 的信息：

1. Alice 与 Bob 事先共享 $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩$；
2. Alice 把 $|\psi ⟩$ 和她那半边纠缠做 Bell 测量，得到两个经典比特；
3. 把这两个比特发给 Bob（普通电话即可）；
4. Bob 根据比特做 $X$/$Z$ 修正，他手中的量子比特变成 $|\psi ⟩$。

Alice 手里的 $|\psi ⟩$ 在测量后被毁掉——不可克隆在这里表现为：态是「搬走」而不是「复制」。

图解说明：量子资源是预先分发的纠缠；通信过程真正在线上跑的，是两个经典比特。demo 对随机未知态重复传态，无噪声时保真度应贴近 1。

demo：Haar 随机单比特纯态 $40$ 次，种子 42。无噪声模拟下平均保真度应贴着 $1$（终端打印 平均传态保真度）。纵轴从 $0.7$ 起，是为了让偶发数值抖动看得见，不是说理论只有 $0.7$。

逐步推导：Bell 测量之后，Bob 用 $X$/$Z$ 怎样收回未知态（点击展开）

三比特：第 $0$ 位是未知 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$，第 $1$、$2$ 位是 $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩$。初态

$$|\psi ⟩\otimes |{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha |0⟩(|00⟩+|11⟩)+\beta |1⟩(|00⟩+|11⟩)).$$

Alice 对 $(0,1)$ 做 CNOT 再对 $0$ 做 $H$，再测计算基得到 $m_0,m_1$（demo 的小端约定：outcome 的 bit0、bit1）。四个结果各概率 $1/4$，Bob 的条件态分别是 $|\psi ⟩$、$X|\psi ⟩$、$Z|\psi ⟩$、$ZX|\psi ⟩$（相差一个全局相位）。因此修正规则：

• $m_1=1$ 则乘 $X$；
• $m_0=1$ 则乘 $Z$。

（与 demo if m1: X; if m0: Z 一致。）保真度 $F=|⟨\psi |{\psi }_{\mathrm{Bob}}⟩{|}^2$ 在无噪声时应为 $1$。不可克隆：Alice 测量后第 $0$ 比特已坍缩，她不再持有 $|\psi ⟩$。

经典通信必须等 Alice 的两个比特到达，Bob 才能修正——所以不超光速。预分发纠缠可以提前做；线上延迟只剩经典两比特。

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三、纠缠交换与量子中继

若 Alice–中继、中继–Bob 各有一对纠缠，中继对自己的两个量子比特做 Bell 测量，就可以把纠缠「接」到 Alice–Bob 上——这叫纠缠交换。量子中继把短距离高品质纠缠级联成更长的链路。

没有中继时，光纤透过率大致随距离指数下降；有中继（再配量子存储对齐到达时间）才能谈城域 / 骨干量子网。

图解说明：中继不是经典路由器的「存储转发 IP 包」，它消耗两段短纠缠、产出一段长纠缠。时钟同步和存储相干时间是工程瓶颈，见 量子存储。

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四、BB84：密钥从量子测量里长出来

BB84 是教学上最干净的量子密钥分发（QKD）协议：

• Alice 随机选比特和基（$Z$ 或 $X$），制备对应偏振（或自旋）光子发给 Bob；
• Bob 随机选基测量；
• 双方公开基（不是比特），只保留基一致的那些作为筛后密钥；
• 抽样核对误码率。若中间有人拦截-重发，会引入额外误码。

不可克隆保证：Eve 不能先完美复制再把原件转给 Bob。demo 用抛硬币模型对比「无窃听」与「拦截-重发」的筛后误码。

图解说明：真实 QKD 还有认证经典信道、隐私放大、有限码长分析。这里只建立「偷听会在统计上露馅」的直觉。

demo：每次 $800$ 比特，两种条件各 $12$ 次试验。无窃听时筛后 QBER 应接近 $0$；拦截-重发应接近 $25\mathrm{\%}$。终端打印两次平均。

逐步推导：拦截-重发为什么把筛后误码抬到约 $1/4$（点击展开）

筛后：只保留 Alice、Bob 基相同的那些比特。无 Eve、无丢包时，这些比特应全对，QBER $=0$（demo 的抛硬币模型在基不一致时才 50% 翻，筛掉后剩下的是干净的）。

Eve 拦截-重发：她随机选基测量再转发。大约一半次数她选对 Alice 的基，Bob 再测同一基则不错；另一半她选错，转发的是错误基上的本征态，Bob 用 Alice 的基去测，再错一半。总筛后误码

$$\mathrm{QBER}\approx \frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}.$$

demo 里两段 50% 翻转（Eve vs Alice，Bob vs Eve）就是在模拟这两层。真实光纤还有暗计数和校准误差，无 Eve 时 QBER 也不是精确 $0$，安全证明要给一个阈值（常见教学数是 $11\mathrm{\%}$ 量级的 BB84 渐近限）——超过就怀疑有人听。不可克隆保证 Eve 没有「两全」策略：她不能既完美测未知偏振又把原件无损转给 Bob。

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五、小结

概念	一句话
纠缠资源	可分发的非经典关联
传态	纠缠 + 两比特经典通信搬走未知态
纠缠交换	把两段短纠缠接成长纠缠
中继	交换 + 存储 + 纯化，对抗光纤指数损耗
BB84	随机基 + 筛后密钥；窃听抬高误码

下一章 量子存储：中继和同步为什么必须把「飞行比特」写成「静止比特」。

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参考

1. Bennett et al., Teleporting an unknown quantum state… PRL (1993).
2. Briegel, Dür, Cirac, Zoller, Quantum Repeaters PRL (1998).
3. Bennett & Brassard, BB84 (1984); Scarani et al., The security of practical quantum key distribution RMP (2009).