李雅普诺夫：不必线性化也能谈稳定

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极点、Routh、Bode 都要求线性（或先在工作点线性化）。单摆 $\ddot{\theta }+(g/\ell )\sin \theta =0$ 不是线性的。李雅普诺夫的办法是找一个能量函数 $V$：原点最低、沿轨迹不增加，就能断定稳定，而不用把微分方程解出来。线性系统里「左半平面极点」是这件事的特例。状态方程见 状态空间。

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一、能量碗

单摆（向下为 $\theta =0$），带枢轴粘滞阻尼 $b>0$：

$$m{\ell }^2\ddot{\theta }+b\dot{\theta }+mg\ell \sin \theta =0.$$

取

$$V(\theta ,\dot{\theta })=\frac{1}{2}m(\ell \dot{\theta }{)}^2+mg\ell (1-\cos \theta ).$$

第一项动能，第二项是把摆锤从最低点抬高 $\ell (1-\cos \theta )$ 的重力势能。$V\ge 0$，仅在 $(\theta ,\dot{\theta })=(0,0)$（模 $2\pi$）为 $0$。沿轨迹

$$\dot{V}=-b{\dot{\theta }}^2\le 0.$$

无阻尼 $b=0$ 时 $\dot{V}=0$，能量守恒，相图是闭合轨道；有阻尼时 $V$ 严格下降（除非已经停住），轨迹螺旋进原点。

图解说明：左是单摆；中是 $V$ 这只碗，轨迹只能往低处走；右是无阻尼闭轨 vs 有阻尼螺旋。不必把 $\theta (t)$ 写成公式。

这叫李雅普诺夫稳定 / 渐近稳定的充分条件（还要 $V$ 正定、径向无界等技术假设；本课用物理能量，条件自然满足）。倒立摆在上平衡点 $V$ 不是正定的——那里要另找 $V$，或先线性化再 LQR。

demo 参数：$m=1$、$\ell =1$、$g=9.8$，初值 $\theta (0)=1.2\mathrm{rad}$、$\omega (0)=0$，对比 $b=0$ 与 $b=0.6$。

保姆级数字例。 初值动能为 $0$，势能

$$V(1.2,0)=mg\ell (1-\cos 1.2)=9.8\times (1-0.3624)\approx 6.249.$$

无阻尼时应几乎保持这个数（欧拉积分会有一点数值泄漏，末端 $V$ 可能略偏）。有阻尼 $b=0.6$ 时 $\dot{V}=-0.6{\omega }^2$，只要还在摆，$V$ 就往下漏，末端应明显小于 $6.25$，$\theta$ 衰减振荡靠近 $0$。

线性化对照：$\theta$ 小时 $\sin \theta \approx \theta$，方程变成

$$\ddot{\theta }+\frac{b}{m{\ell }^2}\dot{\theta }+\frac{g}{\ell }\theta =0.$$

${\omega }_n=\sqrt{g/\ell }\approx 3.13$。$b=0.6$ 时 $\zeta =b/(2m{\ell }^2{\omega }_n)\approx 0.096$，欠阻尼——所以有阻尼的 $\theta (t)$ 仍会晃几下再收，不是过阻尼那种「爬回去」。李雅普诺夫不需要这条近似：$\sin \theta$ 保持原样，$V$ 照样下降。

卡点。 $\dot{V}\le 0$ 给的是稳定（轨迹不跑远），渐近稳定还要「不能停在 $V$ 的等高线上空转」。无阻尼时 $\dot{V}=0$，你永远在某个闭轨上，不回到原点——李雅普诺夫稳定，但不是渐近稳定。有阻尼时唯一让 $\dot{V}=0$ 的是 $\omega =0$，再代回方程发现必须 $\sin \theta =0$，于是只有底平衡点（LaSalle）。另一个卡点：同一只 $V$ 在 $\theta =\pi$（倒立）是势能最高点，碗翻过来了，不能用来证明上平衡点稳定。

逐步推导：从动能 + 势能到 $\dot{V}=-b{\dot{\theta }}^2$（点击展开）

状态取 $(\theta ,\omega )$，$\omega =\dot{\theta }$。动能 $\frac{1}{2}m(\ell \omega {)}^2$（线速度 $\ell \omega$），势能从最低点算起 $mg\ell (1-\cos \theta )$，相加即 $V$。显然 $V(\theta ,\omega )\ge 0$，且 $V=0\iff \theta \in 2\pi \mathbb{Z},\omega =0$。

沿轨迹求导（链规则）：

$$\dot{V}=m{\ell }^2\omega \dot{\omega }+mg\ell \sin \theta \cdot \omega .$$

运动方程解出角加速度：

$$\dot{\omega }=-\frac{g}{\ell }\sin \theta -\frac{b}{m{\ell }^2}\omega$$

（即把原方程除以 $m{\ell }^2$）。代入：

$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =m{\ell }^2\omega (-\frac{g}{\ell }\sin \theta -\frac{b}{m{\ell }^2}\omega )+mg\ell \omega \sin \theta \\ & =-mg\ell \omega \sin \theta -b{\omega }^2+mg\ell \omega \sin \theta \\ & =-b{\omega }^2.\end{array}$$

重力那两项精确抵消——这就是「保守力不做净功，只有阻尼耗散」。$b=0$ 时 $\dot{V}=0$，能量是运动积分，相图是 $V=const$ 的闭曲线。$b>0$ 时 $\dot{V}\le 0$，等号只在 $\omega =0$；若轨迹停在 $\omega =0$ 但 $\sin \theta \ne 0$，角加速度不为 $0$，立刻又动起来。所以有阻尼时只能渐近到下平衡点。

demo 用欧拉：$\omega \leftarrow \omega +\mathrm{\Delta }t\dot{\omega }$，$\theta \leftarrow \theta +\mathrm{\Delta }t\omega$，$\mathrm{\Delta }t=0.01$，积到 $t=8$。显式欧拉不是辛积分器，无阻尼轨道会有一点点能量漂移——终端「无阻尼末端 $V$」若略偏离 $6.25$，是数值而不是物理。

图解说明：左是 $\theta (t)$，灰线无阻尼几乎等幅，橙线 $b=0.6$ 衰减。右是 $V(t)$：灰线接近水平，橙线单调下降。

逐步推导：线性系统二次型 $V=x^{\mathrm{\top }}Px$ 与 Lyapunov 方程（点击展开）

非线性定理是充分条件：找到一只碗就够了，找不到不代表不稳定。线性系统 $\dot{x}=Ax$ 碰巧有完整的充要刻画：渐近稳定 $\iff$ 全部极点在左半平面 $\iff$ 存在正定二次型 $V=x^{\mathrm{\top }}Px$ 使 $\dot{V}$ 负定。

沿线性轨迹：

$$\dot{V}={\dot{x}}^{\mathrm{\top }}Px+x^{\mathrm{\top }}P\dot{x}=x^{\mathrm{\top }}(A^{\mathrm{\top }}P+PA)x.$$

指定一只正定 $Q$（常用单位阵），解 Lyapunov 方程

$$A^{\mathrm{\top }}P+PA=-Q.$$

若 $A$ Hurwitz（极点都在左半平面），则存在唯一正定 $P$，于是 $\dot{V}=-x^{\mathrm{\top }}Qx<0$（$x\ne 0$）。这就是「左半平面极点」与「能量碗」的翻译。双积分器开环的 $A$ 不 Hurwitz，这方程没有正定解——对应「无控制时位置漂走」。配极点或 LQR 把 $A-BK$ 变成 Hurwitz 之后，二次 $V$ 就存在了。

单摆在 $\theta =0$ 线性化后的 $A$ 是 Hurwitz（有阻尼时），所以局部也能用二次 $V$。但线性化只保证原点附近；大角度时 $\sin \theta$ 与 $\theta$ 差得远，线性 $V$ 可能不再沿真轨迹下降。物理能量那只碗对大角度仍然有效——这就是何必线性化的理由。

倒立平衡 $\theta =\pi$：令 $\varphi =\theta -\pi$，则 $\sin \theta =-\sin \varphi$，线性化是 $\ddot{\varphi }-(g/\ell )\varphi =0$，极点一正一负，鞍点。原来的 $V$ 在 $\varphi =0$ 是势能极大，不是极小，定理的前提（正定）直接失败。要稳定倒立摆，必须反馈；常用做法是线性化后 LQR，或另造一只包含「向上」的 $V$。

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二、代码在做什么

demo.py 积两组单摆：无阻尼 vs 有阻尼，同一初值。左图 $\theta (t)$，右图 $V(t)$。无阻尼 $V$ 几乎水平（欧拉会有一点数值泄漏）；有阻尼 $V$ 单调下降，$\theta$ 衰减振荡。

终端打印末端 $V$。阻尼那条应明显更小。相图不画了，以免和右图能量重复；你若改 demo.py 把 $(\theta ,\dot{\theta })$ 撒上去，闭轨 vs 螺旋会更直观。

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三、小结

概念	一句话
$V$	能量碗：远点高、原点最低；初值约 $6.25$
$\dot{V}\le 0$	沿轨迹不爬升 ⇒ 稳定
$\dot{V}=-b{\omega }^2$	只有阻尼耗散；重力项抵消
线性特例	左半平面极点 ⇔ 存在二次 $V=x^{\mathrm{\top }}Px$
下游	机器人非线性动力学见 动力学

现代控制四章到此。回到 控制论导论 或接 运动学。世界模型里的「想象滚动」是另一条不要求 $V$ 的规划路。

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参考

1. Khalil, Nonlinear Systems（李雅普诺夫定理）
2. Åström & Murray, Feedback Systems