控制论导论：先把回路画出来

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控制论要解决的不是「算一个最优动作」，而是：系统会自己漂，你必须用测量把漂拉回来。本章只建立三件事：开环为什么不够、闭环误差从哪来、极点在左半平面还是右半平面如何决定阶跃长什么样。PID 细节见 PID；把植物写成矩阵见 状态空间。

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一、开环猜输入，闭环看误差

开环是「模型说该用力 $u$，就一直用这个 $u$」。植物参数稍错、有外力、初值不对，输出就会漂，没有人告诉控制器「现在差多少」。

闭环把输出 $y$ 送回来，和参考 $r$ 相减：

$$e=r-y.$$

控制器只看 $e$，再决定作用到植物上的 $u$。单位反馈时传感器 $H=1$。

图解说明：左端参考 $r(t)$ 与反馈 $y$ 相减得 $e$；控制器 $C$ 出 $u$，植物 $P$ 出 $y$；虚线把 $y$ 送回。比较 $r$ 与 $y$，用误差驱动系统趋近期望。

信息必须沿回路走一圈，误差才有机会被消掉。开环没有这圈：你把「正确答案」一次性交给植物，之后就瞎了。

demo 的植物是质量-弹簧-阻尼

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=u,$$

参数 $m=1$、$c=0.4$、$k=2$，参考 $r=1$。开环给稳态力 $u=kr=2$：模型完全对时，稳态确实停在 $x=1$。闭环用比例 $u=K_{p}e$、$K_p=8$：稳态会停在 $0.8$ 而不是 $1$——弹簧仍在把质量往 $0$ 拉，纯 P 留静差。这不是 bug，是后面要加积分项的原因。

保姆级数字例。 稳态时速度、加速度都是 $0$，植物退化成 $k{x}_{\mathrm{ss}}=u_{\mathrm{ss}}$。

策略	$u_{\mathrm{ss}}$	$x_{\mathrm{ss}}$
开环 $u=kr$	$2$	$2/k=1$（模型对才成立）
纯 P $u=K_p(r-x)$	$K_p(1-x_{\mathrm{ss}})$	$K_p/(K_p+k)=8/10=0.8$

开环「看起来更准」，前提是 $k$ 你猜对了。若真实弹簧是 $k=2.4$，开环仍出力 $2$，稳态变成 $2/2.4\approx 0.83$，没人纠正。闭环仍然测量 $x$，静差公式自动用真实的 $k$：只是 $0.8$ 变成 $8/(8+2.4)\approx 0.77$，不会漂到完全错误的世界里。对模型误差的这点韧性，就是反馈的第一笔分红。

机器人关节伺服、ROS 2 里的跟踪、世界模型 里「预测再纠偏」，都是这张图的变体。

卡点。 闭环不是免费午餐。反馈把传感器噪声、时延一并绕进回路；增益太大，稳定的植物也会被你绕振荡。导论只要记住：先把 $e=r-y$ 画出来，再谈 $K_p$ 该多大。

逐步推导：开环为何能到 $r=1$，纯 P 为何停在 $0.8$（点击展开）

植物 $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=u$。稳态 $\ddot{x}=\dot{x}=0$，只剩 $k{x}_{\mathrm{ss}}=u_{\mathrm{ss}}$。

开环。 指定 $u\equiv kr=2$。则 $x_{\mathrm{ss}}=2/k=1$。暂态是齐次方程 $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$ 的自由振荡，从 $x(0)=0$ 晃到 $1$。自然频率 ${\omega }_n=\sqrt{k/m}=\sqrt{2}\approx 1.41$，阻尼比

$$\zeta =\frac{c}{2\sqrt{mk}}=\frac{0.4}{2\sqrt{2}}\approx 0.141$$

——欠阻尼，所以开环曲线会超调再收。$k$ 若不是 $2$，这个 $u$ 就对不上，$x_{\mathrm{ss}}$ 跟着错，而且没有测量去改 $u$。

纯 P。 $u=K_p(r-x)$ 代回植物：

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=K_p(r-x)⟺m\ddot{x}+c\dot{x}+(k+K_p)x=K_{p}r.$$

稳态：$(k+K_p)x_{\mathrm{ss}}=K_{p}r$，故

$$x_{\mathrm{ss}}=\frac{K_p}{K_p+k}r=\frac{8}{10}=0.8.$$

等效弹簧从 $k$ 加硬到 $k+K_p=10$，所以闭环 ${\omega }_n=\sqrt{10}\approx 3.16$（更快），阻尼比

$$\zeta =\frac{c}{2\sqrt{m(k+K_p)}}=\frac{0.4}{2\sqrt{10}}\approx 0.063$$

更小——P 增益把系统变「硬」的同时变「更会晃」。左图闭环曲线往往比开环抖，原因在这里。积分项把静差积掉，微分项补阻尼，那是 PID 的事。

demo 用半隐式欧拉：先更新 $a=(u-cv-kx)/m$，再 $v\leftarrow v+\mathrm{\Delta }ta$，$x\leftarrow x+\mathrm{\Delta }tv$，$\mathrm{\Delta }t=0.01$，积到 $t=8$。

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二、不是只有经典和现代两箱

侧栏把课拆开，避免两篇「什么都塞一点」的长文。读这一节的目的只有一个：同一条回路，两套字母。 经典把植物压成传递函数 $G(s)$，控制器看一个标量误差；现代把内部量摊开成向量 $x$，控制器看状态或状态的估计。不是两门宗教，是同一件物理的两种记账法。

图解说明：经典用 $G(s)$、PID、根轨迹、Bode；现代用 $x$、$K$、卡尔曼、$V$。数字控制、MPC、自适应本笔记先不展开——MPC 滚动时域和世界模型规划是亲戚。

分组	语言	入口
经典控制	传递函数、误差标量	从 传递函数 或 PID
现代控制	状态向量、矩阵增益	从 状态空间

几何接到手臂上，见 机器人学。

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三、极点决定「晃不晃、收不收」

线性系统的自由响应由特征根（极点）决定。二阶标准形

$$\ddot{y}+2\zeta {\omega }_n\dot{y}+{\omega }_n^{2}y={\omega }_n^{2}r$$

里，$\zeta$ 是阻尼比：$\zeta >1$ 过阻尼（不晃）、$0<\zeta <1$ 欠阻尼（超调再收）、$\zeta =0$ 等幅振荡、$\zeta <0$ 发散。demo 用同一 ${\omega }_n=2$，只改 $\zeta$，把四条阶跃画在一张图上。

闭环比例反馈相当于把极点往左推（或推过头变成振荡）——这就是后面根轨迹要画的那条路。右半平面极点：特征根实部为正，齐次解里有 $e^{+\alpha t}$，阶跃会爆炸。控制要做的几何，常常就是「把极点赶到左半平面，并且别贴虚轴太近」。

保姆级数字例。 ${\omega }_n=2$ 固定，参考 $r=1$，demo 四条：

$\zeta$	极点（约）	阶跃长什么样
$1.4$ 过阻尼	两个负实根，约 $-4.76$ 与 $-0.84$	不超调，慢慢爬到 $1$
$0.5$ 欠阻尼	$-1\pm j\sqrt{3}$	超调后衰减振荡
$0$ 无阻尼	$\pm j2$	绕 $1$ 等幅振荡，频率 ${\omega }_n$
$-0.15$ 负阻尼	实部 $+0.3$，在右半平面	振幅越来越大

欠阻尼超调量近似 $\sigma \approx \exp (-\zeta \pi /\sqrt{1-{\zeta }^2})$。$\zeta =0.5$ 时 $\sigma \approx e^{-\pi /\sqrt{3}}\approx 16\mathrm{\%}$，峰值大约 $1.16$。$\zeta$ 再小，极点更靠虚轴，包络 $e^{-\zeta {\omega }_{n}t}$ 衰得更慢。

卡点。 「加反馈」不会自动稳定。符号反了（正反馈）或增益太大，极点可以穿过虚轴。导论右图的负阻尼，就是「已经在右半平面」的样子——先认出来，再去学怎么搬回来。

逐步推导：二阶标准形的极点怎样写成 $\zeta ,{\omega }_n$（点击展开）

齐次方程 $\ddot{y}+2\zeta {\omega }_n\dot{y}+{\omega }_n^{2}y=0$。试探 $y=e^{st}$，得到特征方程

$$s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0.$$

求根公式：

$$s=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}.$$

• $\zeta >1$：根号里为正，两个相异负实根（${\omega }_n>0$ 时）。快根先死掉，慢根决定爬升。$\zeta =1.4$、${\omega }_n=2$：$s=-2.8\pm 2\sqrt{0.96}\approx -4.76,-0.84$。
• $\zeta =1$：重根 $-{\omega }_n$。临界阻尼，刚好不振荡。
• $0\le \zeta <1$：共轭复根 $-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$。实部是包络衰减率，虚部是振荡角频率。$\zeta =0.5$、${\omega }_n=2$：实部 $-1$，虚部 $2\sqrt{3}/2=\sqrt{3}\approx 1.73$。
• $\zeta =0$：纯虚根 $\pm j{\omega }_n$，等幅。
• $\zeta <0$：实部变正，指数增长。

单位阶跃相当于强迫项 ${\omega }_n^{2}r$。稳态特解 $y_{\mathrm{ss}}=r$（直流增益为 $1$）。demo 不走拉普拉斯反演，直接欧拉积微分方程，四条曲线与上表一一对应。

质量-弹簧那一台也可以写成标准形：开环 ${\omega }_n=\sqrt{k/m}$，$\zeta =c/(2\sqrt{mk})$。加了 $K_p$ 之后等效 $k\leftarrow k+K_p$，两个数都变——这就是第一节折叠块里 ${\omega }_n$ 变大、$\zeta$ 变小的来源。

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四、代码在做什么

demo.py 两张图：左是质量-弹簧在「开环给稳态力」与「比例闭环」下的位置；右是二阶系统四个 $\zeta$ 的单位阶跃。没有拉普拉斯工具箱，积分都是欧拉。

开环靠植物自己晃到目标；闭环 $u=K_{p}e$ 把静差缩小（本例植物有弹簧，单靠 P 往往仍留一点差，末端应接近 $0.8$ 而不是 $1$）。右图从过阻尼到负阻尼，曲线从「爬楼梯」变成「爆炸」。

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五、小结

概念	一句话
开环	不看 $y$，输入预先算死；模型错了就错到底
闭环	$e=r-y$ 驱动 $u$；纯 P 对本例停在 $0.8$
极点 / $\zeta$	决定衰减还是振荡；右半平面会爆炸
下游	经典四章 + 现代四章

下一章建议 传递函数与时域响应。已经熟悉阶跃的读者可直接进 PID。

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参考

1. Åström & Murray, Feedback Systems
2. Wiener, Cybernetics（「控制论」这个词的来源，不必从这里读公式）