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控制论导论 — demo.py 代码详解

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运行方式

cd docs/control/overview/code
python demo.py

CPU、NumPy 即可。一张图 overview_loop.png：左是质量-弹簧的开环 vs 比例闭环，右是二阶系统四个阻尼比 $\zeta$ 的阶跃。没有 scipy.signal，植物用半隐式欧拉往前走。

代码逐段详解

第1步：植物参数

M, C, KSPRING = 1.0, 0.4, 2.0
DT = 0.01
T_END = 8.0
R = 1.0
KP = 8.0
WN = 2.0

• KSPRING：弹簧刚度。后面 PID 增益用 KP，避免和弹簧挤同一个 K。
• R：参考位置。开环稳态力必须是 R * KSPRING 才能抵弹簧，否则质量会被拉回 $0$。
• WN：右图二阶系统的自然频率 ${\omega }_n$，四个 $\zeta$ 共用，只改阻尼。

np.random.seed(42) 写了，但本脚本无随机数，轨迹完全确定。

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第2步：mass_spring — 开环力 vs $u=K_{p}e$

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=u$$

def mass_spring(open_loop=True):
    n = int(T_END / DT)
    x, v = 0.0, 0.0
    xs, ts = [], []
    for i in range(n):
        if open_loop:
            u = R * KSPRING
        else:
            u = KP * (R - x)
        a = (u - C * v - KSPRING * x) / M
        v = v + DT * a
        x = x + DT * v
        xs.append(x)
        ts.append(i * DT)
    return np.array(ts), np.array(xs)

• 先更新 v 再更新 x：半隐式欧拉，比两处都用旧速度更稳一点。
• 开环 u = R * KSPRING：稳态对，暂态全交给 $m,c,k$ 自己晃。
• 闭环只乘比例：没有积分，有弹簧时末端往往仍差一点——这是导论故意留的缺口，PID 章用 $K_i$ 啃掉它。

语法：n = int(T_END / DT) 把秒数变成步数；xs.append(x) 先用 Python 列表，最后 np.array 一次转，避免循环里反复扩数组。

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第3步：second_order_step — 标准二阶

$$\ddot{y}+2\zeta {\omega }_n\dot{y}+{\omega }_n^{2}y={\omega }_n^{2}r$$

改写成 $\ddot{y}={\omega }_n^2(r-y)-2\zeta {\omega }_n\dot{y}$，和弹簧植物是同一类积分。

a = wn ** 2 * (R - y) - 2.0 * zeta * wn * v

• zeta < 0：阻尼项变成加油，能量往上长，曲线发散。右图把它画出来，是为了让「右半平面极点」在时域里看得见。
• wn ** 2：Python 的幂是 **，不是 ^（^ 是按位异或）。

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第4步：画图与打印

zetas = [(1.4, '过阻尼 ζ=1.4'), (0.5, '欠阻尼 ζ=0.5'),
         (0.0, '无阻尼 ζ=0'), (-0.15, '负阻尼 ζ=-0.15')]

元组列表：第一个元素给积分，第二个给图例。y.max() 是 NumPy 数组的峰值，欠阻尼会大于 $r$，过阻尼不会。

图存到章节 images/overview_loop.png：路径由 __file__ 往上拼，从哪启动脚本都写到对的地方。

源码位置

clone 后打开（相对仓库根目录）：

docs/control/overview/code/demo.py