量子计算：态、门、线路与测量

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量子计算的最小闭环：准备一个态 → 用酉门演化 → 测量得到经典比特。算法的「加速」来自振幅的干涉，而不是把 0/1 同时塞进同一个硅开关。

前置：量子信息全景、线性代数。

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一、量子比特与布洛赫球

单比特纯态可以写成

$$|\psi ⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\varphi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩.$$

$(\theta ,\varphi )$ 是球面上的一个点：北极 $|0⟩$，南极 $|1⟩$，赤道是像 $|+⟩$、$|-⟩$ 这样的等权叠加。整体相位 $e^{i\alpha }$ 测不到，所以球面（而不是三维实向量）刚好装得下物理上可区分的纯态。

图解说明：箭头指向的是纯态；混合态会掉进球体内。测量 $Z$ 相当于问「更靠近北还是南」。

动画说明：$H$ 把 $|0⟩$ 从北极转到赤道 $|+⟩$。测 $Z$ 之前还是叠加；测完才塌到南北极（这一次演示落到 $|0⟩$）。

图解说明：北极 $|0⟩$、南极 $|1⟩$、赤道叠加。H 把门从北极打到赤道；Z 测量按 $|\alpha {|}^2,|\beta {|}^2$ 塌缩。

逐步推导：为什么纯态只要两个角，以及 $H|0⟩=|+⟩$（点击展开）

一般 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$，$\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$，四个实数，但归一化 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$ 扣一个，整体相位 $e^{i\gamma }|\psi ⟩$ 测不到再扣一个，剩下两个实参数，正好是球面的 $\theta ,\varphi$。写成 $\cos (\theta /2)|0⟩+e^{i\varphi }\sin (\theta /2)|1⟩$ 自动满足归一化。

Hadamard：

$$H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}=|+⟩.$$

这是 Bloch 球上从北极到 $+x$ 赤道。测 $Z$（计算基）时 Born 规则 $P(0)=|⟨0|\psi ⟩{|}^2$。对 $|+⟩$ 两边都是 $1/2$，所以动画里每次测量才随机落到南北极。门必须酉：$U^{†}U=I$，否则概率和不再为 $1$。

多比特：$|01⟩=|0⟩\otimes |1⟩$。一般态是 $2^n$ 个振幅，不一定能写成各个比特的张量积——写不成的就叫纠缠。

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二、门：可逆的线性变换

量子门是酉矩阵 $U^{†}U=I$，保证概率守恒。常用单比特门：

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),Z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

$H|0⟩=|+⟩$。两比特最重要的是 CNOT：控制为 1 时翻转目标。它本身不创造叠加，但和 $H$ 组合就能把乘积态变成 Bell 态：

$$\mathrm{CNOT}(H\otimes I)|00⟩=\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}=|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩.$$

图解说明：$H$ 负责叠加，CNOT 负责把「控制比特的 0/1」写进关联。测量后只该看到 00 与 11。

线路图从左到右读：每条横线一个量子比特，方块是门，仪表是测量。这就是量子计算的汇编。

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三、测量与 Born 规则

计算基测量：得到比特串 $x$ 的概率是 $|⟨x|\psi ⟩{|}^2$。测量后态坍缩到对应子空间。因此：

• 中间测量会毁掉后面还想用的相干；
• 算法设计往往把测量留到最后，让振幅先干涉。

demo.py 先画 $H|0⟩$ 的 50/50 直方图，再画 Bell 态——后一张图几乎只有 00 和 11，这就是纠缠在数据里的样子。

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四、算法直觉（不必一次学完 Shor）

教学上先抓住两类干涉：

1. Deutsch 型：问「函数是否平衡」这类全局性质。量子线路让两条路径的相位相长/相消，一次查询就能读出奇偶型信息。要点是相位踢回，不是「并行算出所有 $f(x)$ 再打印」。
2. Grover 型：无结构搜索。振幅在「标记项」上每次转一个小角度，约 $\sqrt{N}$ 次达到高概率——平方加速，不是指数。

Shor 的周期查找更长，核心仍是：把周期性藏进相位，再用 QFT 让峰值出现在测量里。本笔记本不在一章里展开数论，只要求你记住：加速来自干涉与结构，不是万能并行。

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五、NISQ 与容错

今天的设备是 NISQ（噪声中等规模）：量子比特数有限、门错误率大约千分之一量级、相干时间限制线路深度。变分线路、量子模拟短演化，都是在这个盒子里找用途。

容错要把许多物理比特编成一个逻辑比特，用纠错循环把有效错误压下去。代价是巨大的空间与时间开销。两者不是互斥口号，而是工程阶段。

图解说明：左边是「浅线路、能跑、会错」；右边是「逻辑比特由物理比特投票保护」。QML 章的 8 比特 HEA 明确属于左边。

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六、小结

概念	一句话
态矢量	归一化复向量；布洛赫球画纯态
酉门	可逆线性变换；$H$、CNOT 是积木
Bell 态	局域看起来随机，合起来完全关联
Born 规则	概率 = 振幅模方
NISQ	浅、噪、小；先找浅线路任务
容错	逻辑比特；开销大

下一章 量子网络：把纠缠当成可以分发、交换、用来传态的资源。

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参考

1. Nielsen & Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Ch. 1–4.
2. IBM Qiskit / Microsoft Q# 教材中的 Bell 与测量实验（任意一种线路图约定即可）。
3. Preskill, J. Quantum Computing in the NISQ era and beyond (2018).