s20 深度强化学习：DQN 与 Policy Gradient

WARNING

🧪 Beta公测版本提示：教程主体已完成，正在优化细节，欢迎大家提Issue反馈问题或建议。

表格装不下像素和关节角：用网络逼近 $Q$ 或直接输出 $\pi$。demo.py 会跑一个小网格上的 DQN/REINFORCE 对照。TD 目标与策略梯度 $\mathbb{E}[G\mathrm{\nabla }\log \pi ]$ 在折叠里。

一、Q-Table 的末日：从离散到连续

---

一、Q-Table 的末日：从离散到连续

上一节我们学习了 Q-Learning，它在 GridWorld（$10\times 10=100$ 个状态）上表现很好。但现实世界中的任务远没有那么简单：

• 自动驾驶：传感器数据（摄像头 + 雷达 + GPS）= 连续高维向量 → 状态空间是 ${\mathbb{R}}^n$，不可能建表
• Atari 游戏：$210\times 160\times 3$ 像素 = 100800 维，如果用表格存储，宇宙中的所有原子都不够
• 机器人控制：关节角度、速度、力矩都是连续值 → 状态和动作都是连续空间

面对连续/高维状态空间，表格方法的三个核心假设全部崩溃：

1. 状态枚举：无法列出所有可能状态（连续空间有无穷多个）
2. 独立学习：无法在相似状态之间共享经验（看到一张略微偏移的图片，Q-Table 完全不知如何应对）
3. 内存需求：状态数 × 动作数的表格在百万量级就不可行

解决方案：用一个可微的函数逼近器（神经网络）来近似 $Q(s,a)$，而非存储离散的查找表。这就是 Deep Q-Network（DQN） 的核心思想。

函数逼近 = 泛化。神经网络学会了"语义相似的状态应该有相似的 Q 值"，从而大幅减少所需经验。

图解说明：输入状态（或像素），输出每个离散动作的 Q。目标网络慢同步，经验回放打乱时间相关。

数字例。 当前 $Q(s,\text{右})=0.5$，走一步 $r=-0.1$，$s^{\prime }$ 上 $\underset{a^{\prime }}{max}{Q}_{\overline{\theta }}(s^{\prime },a^{\prime })=0.8$，$\gamma =0.9$。TD 目标 $-0.1+0.72=0.62$。损失 $\frac{1}{2}(0.62-0.5{)}^2$，梯度把 $Q(s,\text{右})$ 往 0.62 拉。若用同一网络既当预测又当目标，目标跟着跑，训练会抖——所以冻一份 $\overline{\theta }$。

逐步推导：DQN 损失与 REINFORCE 梯度（点击展开）

DQN 回归目标 $y=r+\gamma \underset{a^{\prime }}{max}{Q}_{\overline{\theta }}(s^{\prime },a^{\prime })$（终止则 $y=r$）。损失 $\mathbb{E}[(y-Q_{\theta }(s,a){)}^2]$。回放缓冲打破 $(s_t,s_{t+1})$ 相关；目标网每 $C$ 步 $\overline{\theta }\leftarrow \theta$。Double DQN：用 $\theta$ 选 $\arg max$，用 $\overline{\theta }$ 估值，减轻过估计。

REINFORCE：${\mathrm{\nabla }}_{\theta }J=\mathbb{E}[\sum _t{G}_t{\mathrm{\nabla }}_{\theta }\log {\pi }_{\theta }(a_t\mid s_t)]$。$G_t$ 方差大。减基线 $G_t-b(s_t)$ 不改期望（$\mathbb{E}[\mathrm{\nabla }\log \pi ]=0$）。Actor-Critic 用 $V_w(s)$ 当 $b$。连续动作常用高斯策略，均值由网络输出。

---

二、Deep Q-Network (DQN)

2.1 从 Q-Table 到 Q-Network

Q-Learning 使用 $Q(s,a)$ 表格，DQN 使用参数化函数 $Q_{\theta }(s,a)$：

方式	表示	查询
Q-Table	Q[state_idx][action_idx]	直接查表，$O(1)$
DQN	$Q_{\theta }(s,a)$ 神经网络	前向传播一次，$O(

DQN 的输入是状态 $s$（可以是原始像素、传感器向量等），输出是所有可能动作的 Q 值：

$$Q_{\theta }(s)=[Q_{\theta }(s,a_1),Q_{\theta }(s,a_2),\dots ,Q_{\theta }(s,a_n)]$$

这样，一次前向传播就能得到所有动作的 Q 值，效率极高。

2.2 DQN 两大创新

直接将 Q-Learning 的更新规则套用到神经网络上会导致严重的训练不稳定。DeepMind 在 2013 年的奠基性工作中引入了两个关键创新：

创新 1：经验回放（Experience Replay）

神经网络训练通常假设样本是独立同分布（i.i.d.）的。但强化学习的经验是顺序产生的——连续的 $(s_t,a_t,r_t,s_{t+1})$ 之间高度相关。如果你用连续的样本来训练神经网络，更新方向会过度受到最近经验的影响。

经验回放的解决方案：维护一个重放缓冲区 $\mathcal{D}=\{(s,a,r,s^{\prime })\}$，存储最近的 $N$ 条经验（例如 $N=10000$）。每次更新时，从缓冲区中随机采样一个小批量（mini-batch）。这样做的三个好处：

1. 打破相关性：随机采样让每个 batch 中的经验来自不同时间和策略，近似 i.i.d.
2. 提高数据效率：每条经验可以被反复使用多次，而不是用过即弃
3. 平滑学习：从多样化的经验中学习，减少策略振荡

创新 2：目标网络（Target Network）

Q-Learning 的 TD 目标中包含 $\underset{a^{\prime }}{max}Q(s^{\prime },a^{\prime })$。如果同一个网络既产生预测值 $Q(s,a)$ 又产生目标值 $Q(s^{\prime },a^{\prime })$，那么更新 $Q_{\theta }$ 会同时改变目标和预测——就像追逐自己尾巴的狗，导致训练发散。

DQN 的解决方案：维护两个网络：

• 在线网络（Online Network）$Q_{\theta }$：用于选择动作和计算当前 Q 值，每一步都更新
• 目标网络（Target Network）$Q_{{\theta }^{-}}$：用于计算 TD 目标中的 $\underset{a^{\prime }}{max}Q(s^{\prime },a^{\prime })$，每隔 $C$ 步才从在线网络复制一次权重（${\theta }^{-}\leftarrow \theta$）

2.3 DQN 损失函数

DQN 的损失函数就是一个回归问题——让 $Q_{\theta }(s,a)$ 逼近 TD 目标：

$$\mathcal{L}(\theta )={\mathbb{E}}_{(s,a,r,s^{\prime })\sim \mathcal{D}}\left[{(r+\gamma \cdot \underset{a^{\prime }}{max}{Q}_{{\theta }^{-}}(s^{\prime },a^{\prime })-Q_{\theta }(s,a))}^2\right]$$

其中：

• $Q_{\theta }(s,a)$：在线网络的输出（当前预测）
• $Q_{{\theta }^{-}}(s^{\prime },a^{\prime })$：目标网络的输出（稳定目标）
• 注意：梯度只通过在线网络反向传播，目标网络被视为常数

2.4 DQN 算法流程

初始化在线网络 Q_θ，目标网络 Q_θ⁻ = Q_θ
初始化经验回放缓冲区 D（容量 N）

重复（每个 episode）：
    初始化状态 s
    重复（每步）：
        以 ε-贪婪策略选择动作 a（基于 Q_θ）
        执行 a，观察 r 和 s'
        将 (s, a, r, s') 存入 D
        从 D 中随机采样 mini-batch B
        计算 TD 目标: y = r + γ·max_{a'} Q_θ⁻(s', a')  （如果 s' 是终止态，y = r）
        计算损失: L = (1/|B|)·Σ (y - Q_θ(s,a))²
        执行梯度下降更新 θ
        每隔 C 步: θ⁻ ← θ
        s ← s'

---

三、Policy Gradient：直接学习策略

3.1 价值方法的局限性

DQN 属于基于价值的方法——它学习 Q 函数，再由 Q 函数推导出策略（$\pi (s)=\arg \underset{a}{max}Q(s,a)$）。这在离散动作空间中工作得很好，但有几个根本限制：

1. 确定性策略：$\arg max$ 产生的策略是确定的——在同一个状态下永远选择同一个动作，这在某些场景（如博弈）中是可被对手利用的
2. 连续动作困难：当动作空间是连续的（如机器人关节力矩），需要在整个动作空间中取 $\arg max$，这是个优化问题本身
3. 策略改进的平滑性：Q 值的微小变化可能导致策略的剧烈变化（$\arg max$ 不连续）

基于策略的方法绕过了 Q 值这个中间层，直接参数化并优化策略 ${\pi }_{\theta }(a|s)$。

3.2 REINFORCE 算法

REINFORCE 是最经典的策略梯度算法。核心思路：

定义目标函数 $J(\theta )$ 为期望累计奖励：

$$J(\theta )={\mathbb{E}}_{\tau \sim {\pi }_{\theta }}\left[\sum _t{r}_t\right]$$

策略梯度定理告诉我们：

$${\mathrm{\nabla }}_{\theta }J(\theta )={\mathbb{E}}_{\tau \sim {\pi }_{\theta }}[\sum _{t=0}^T{\mathrm{\nabla }}_{\theta }\log {\pi }_{\theta }(a_t|s_t)\cdot G_t]$$

其中 $G_t=\sum _{k=t}^T{\gamma }^{k-t}{r}_k$ 是从时间步 $t$ 开始的累计回报（Return）。

直觉解释：

• ${\mathrm{\nabla }}_{\theta }\log {\pi }_{\theta }(a_t|s_t)$：告诉我们应该如何调整参数来增加选择动作 $a_t$ 的概率
• $G_t$：加权因子——如果 $G_t$ 很大（好的动作序列），大力增加概率；如果 $G_t$ 很小（坏的动作序列），小幅增加甚至减少概率

REINFORCE 的算法流程：

初始化策略网络 π_θ
重复（每个 episode）：
    用 π_θ 采样一条完整轨迹 τ = (s_0, a_0, r_0, ..., s_T)
    计算每一步的回报 G_t
    更新: θ ← θ + α Σ_t ∇_θ log π_θ(a_t|s_t) · G_t

REINFORCE 的缺点是高方差——不同轨迹的累计回报可能相差巨大。这引出了 Actor-Critic 方法。

---

四、Actor-Critic 方法

4.1 为什么需要 Critic？

REINFORCE 用完整的累计回报 $G_t$ 作为每个动作的"好坏"信号。但这引入了高方差——有些轨迹碰巧好（幸运的探索），有些碰巧差，但 REINFORCE 会同等对待。

解决方案：不要用原始的 $G_t$，而用一个学习到的价值函数来做更准确的评估——这就是 Critic。

Actor-Critic 架构包含两个网络：

• Actor ${\pi }_{\theta }(a|s)$：策略网络，决定做什么（演员）
• Critic $V_{\varphi }(s)$：价值网络，评估刚才做得怎么样（评论家）

4.2 优势函数

我们不直接使用 $G_t$，而是使用优势函数（Advantage Function）：

$$A(s,a)=Q(s,a)-V(s)$$

优势函数衡量的是："执行动作 $a$ 比在状态 $s$ 下的平均水平好多少"。使用优势函数可以大幅降低梯度的方差。

在实践中，优势函数的估计使用 TD 误差 ${\delta }_t$：

$${\delta }_t=r_t+\gamma V(s_{t+1})-V(s_t)$$

Actor 用 ${\delta }_t$ 来更新策略，Critic 用 ${\delta }_t^2$ 来更新价值函数。

4.3 A2C / A3C

• A2C（Advantage Actor-Critic）：同步版本，多个 worker 并行采样，收集完所有梯度后一次性更新
• A3C（Asynchronous Advantage Actor-Critic）：异步版本，每个 worker 独立采样、计算梯度并更新全局网络，无需等待其他 worker

Actor-Critic 方法结合了两种方法的优点：

• 从策略梯度继承：可以直接输出随机策略、处理连续动作
• 从价值方法继承：利用 bootstrapping 降低方差、提高样本效率

---

五、三种方法的对比

维度	Value-Based (DQN)	Policy-Based (REINFORCE)	Actor-Critic (A2C)
学习对象	Q 函数 $Q_{\theta }(s,a)$	策略 $\pi_{\theta}(a	s)$
策略类型	确定性（$\arg maxQ$）	随机性（概率分布）	随机性（概率分布）
动作空间	离散	离散 + 连续	离散 + 连续
样本效率	高（经验回放）	低（on-policy）	中等
方差	低（bootstrapping）	高（Monte Carlo）	低（advantage）
偏差	有偏（bootstrapping）	无偏（Monte Carlo）	有偏（bootstrapping）
稳定性	需目标网络	需 baseline	需同时训练两个网络
典型应用	Atari 游戏	简单控制任务	复杂连续控制

没有一种方法在所有场景下都最优。选择取决于动作空间的类型、样本获取成本、以及是否需要随机策略。

---

六、从 Atari 到 AlphaGo：深度 RL 的里程碑

理解深度强化学习的完整版图，有必要快速回顾它的关键里程碑：

• 2013: DQN (DeepMind) — 首次用 CNN + Q-Learning 在 Atari 2600 游戏上达到人类水平，发表于 NIPS 2013
• 2015: DQN Nature 版 — 加入目标网络和经验回放，发表于 Nature，标志着"从像素到动作"的端到端学习成为现实
• 2016: AlphaGo (DeepMind) — 策略网 + 价值网 + MCTS，击败李世石。下一节会单独把自我对弈和 PUCT 讲开，而不是一句「就是 REINFORCE」带过
• 2017: PPO (OpenAI) — 用裁剪把 on-policy 更新锁在旧策略邻域里，后面会单独成章
• 2019: OpenAI Five / AlphaStar — 在 Dota 2 和星际争霸 2 上达到职业水平，展示 RL 在复杂多智能体场景中的潜力
• 2022: RLHF — 把 PPO 接到大语言模型上（人类反馈 → 奖励模型 → 策略优化）
• 2024–2025: GRPO / DeepSeek-R1 — 用组内相对奖励代替 Critic，做可验证的推理强化学习

自我对弈、近端更新、组相对优势，都值得各自讲清楚，再接到 LLM 上。下一节先看棋：网络负责感觉，树负责算清。

---

七、本节小结

概念	一句话
DQN	用神经网络 $Q_{\theta }(s)$ 近似 Q 值，处理高维连续状态
经验回放	从缓冲区随机采样历史经验，打破序列相关性
目标网络	冻结目标 Q 值的计算网络，防止训练振荡
策略梯度	直接优化策略 ${\pi }_{\theta }$，通过 $\mathrm{\nabla }\log \pi$ 加权回报更新
REINFORCE	最基础的策略梯度算法，用完整轨迹的累计回报 $G_t$
Actor-Critic	Actor（策略）+ Critic（价值），用优势函数降方差
优势函数	$A(s,a)=Q(s,a)-V(s)$，衡量"比平均好多少"
A2C	同步多 worker 的 Actor-Critic，用 $n$ 步回报 + 优势函数

下一节 AlphaGo：自我对弈与 MCTS。之后是 PPO、GRPO，最后才把这些优化器接到 RLHF 的 token 序列上。

📥 Code

File	View	Download
demo.py	Open	Download
exercise.py	Open	Download

参考

1. Mnih, V., et al. (2015). Human-level control through deep reinforcement learning. Nature. (DQN) [doi:10.1038/nature14236]
2. Williams, R. J. (1992). Simple Statistical Gradient-Following Algorithms for Connectionist Reinforcement Learning. Machine Learning. (REINFORCE) [doi:10.1007/BF00992696]
3. Mnih, V., et al. (2016). Asynchronous Methods for Deep Reinforcement Learning. ICML 2016. (A3C) [arXiv:1602.01783]
4. Schulman, J., et al. (2017). Proximal Policy Optimization Algorithms. (PPO) [arXiv:1707.06347]
5. Silver, D., et al. (2016). Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search. Nature. (AlphaGo) [doi:10.1038/nature16961]