量子机器学习：混合线路怎么分类一张图

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量子机器学习（QML）在 NISQ 上几乎总是混合的：经典网络整理特征，量子线路吃角度、吐测量，再接一个小分类头。本章把这条管线讲清楚，并收编独立示例工程 qml-mnist-classify（MIT，现随本章发布）里基于本源 VQNet 的 8 比特实验。

前置：量子计算 的门与测量、CNN 的特征提取、优化 的梯度下降。pyvqnet 不是 notebook 默认依赖；没装也能跑经典基线。

正文把混合管线讲清楚；需要把角度头的 $2\pi$ 或贫瘠高原的方差展开时，点开「逐步推导」。demo.py 种子 42：同任务小 CNN 默认训 $8$ 个 epoch；量子混合模型 $8$ 比特，缺 pyvqnet 时跳过并继续经典对照。

保姆级：先压缩，再编码。 16×16 灰度图有 256 个数。NISQ 没有 256 个干净量子比特，就算有，把每个像素直接写成一个 $R_y$ 也没有理论保证更准。工程上是：全连接把 256 收成几十维隐藏向量，再映成 $8$ 个 $R_y$ 角和 $8$ 个 $R_z$ 角。量子线路吃的是已经提炼过的角度，不是原始像素。

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一、QML 在 NISQ 上实际在做的事

指数维希尔伯特空间并不自动等于「分类更准」。当前常见的可跑通范式是：

$$x\stackrel{\text{经典编码器}}{\to }\theta (x)\stackrel{U(\theta ,\varphi )}{\to }|\psi ⟩\stackrel{\text{测量}}{\to }\hat{y}.$$

• $\theta (x)$：数据相关的旋转角（编码）；
• $\varphi$：可训练的线路参数（ansatz / HEA）；
• 测量期望值当特征，后面再接线性层也常见。

需要避开的幻觉：把 16×16 图像的 256 个像素直接当成 256 个量子比特。那既编不进 NISQ，也没有证据表明更准。正确的工程直觉是：先压缩，再编码。

图解说明：FC 压缩 → 两个角度头 → Ry/Rz 写入 8 比特 → 固定 HEA → MeasureAll → 分类。

配套示意图（SVG，可点开）：

• 整体数据流
• 编码线路
• 编码 vs HEA 职责
• HEA 结构
• 训练循环

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二、经典到量子的接口

原示例教程把接口拆成四步，本章直接采用：

1. 展平：16×16 → 256。信息量不变，只是给全连接层吃向量。
2. 经典压缩器：256 → 128 → 64，Tanh。量子比特只有 8 个，必须先提炼。
3. 角度头：两个独立的 Linear(64, 8)，分别产出 Ry 与 Rz 的 8 个角。再 Sigmoid × 2π 把范围压到 $[0,2\pi ]$。
4. _encode()：对第 $i$ 个比特施加 $R_y({\theta }_i)$、$R_z({\varphi }_i)$。这才是经典数变成量子门参数的时刻。

之后进入固定 Hardware Efficient Ansatz（HEA）：交错的单比特旋转 + 邻近 CNOT。编码负责「把图写进态」，HEA 负责「再搅一搅、纠缠一下」。原仓默认配置去掉了编码阶段的 CNOT 链，让纠缠主要来自 HEA，以降低编码复杂度。

练习 exercise.py 不依赖 VQNet，只让你实现角度头的 NumPy 版：线性 → sigmoid → $2\pi$。

逐步推导：角度头 Linear → sigmoid → $2\pi$，以及测量期望怎样接到分类损失（点击展开）

设压缩器输出 $h\in {\mathbb{R}}^{64}$。两个头

$$\theta =2\pi \sigma (W_{y}h+b_y),\varphi =2\pi \sigma (W_{z}h+b_z),$$

各 $8$ 维，$\sigma$ 是逐元 sigmoid。$\sigma$ 把实数压到 $(0,1)$，乘 $2\pi$ 后落在一个完整圆周——旋转角的自然周期。第 $i$ 个量子比特上的编码门 $R_y({\theta }_i)R_z({\varphi }_i)$ 把 $|0⟩$ 写到布洛赫球上的一个点；8 个比特的乘积态再进 HEA（邻近 CNOT + 单比特旋转）产生纠缠。

测量：MeasureAll 给出 8 个 $Z$ 期望或一组比特串统计。后面的线性分类头把这 $8$ 个数（或 $2^8$ 直方图的压缩）映到两类 logits，交叉熵相对标签（数字 3 vs 6）反传。

量子部分要对 ${\varphi }_{\mathrm{HEA}}$ 求导。酉门 $U(\alpha )=e^{-i\alpha G/2}$ 的参数移位：

$${\partial }_{\alpha }⟨Z⟩=\frac{1}{2}(⟨Z{⟩}_{\alpha +\pi /2}-⟨Z{⟩}_{\alpha -\pi /2})$$

（对 Pauli 生成元）。框架（VQNet）把移位或自动微分藏起来；你只要记住：角度是连续参数，可以梯度下降，但每多一个参数就多两次线路求值。这和 CNN 卷积核的反传同构，只是前向贵在量子采样。

编码阶段默认去掉 CNOT 链：纠缠主要留给 HEA，避免「编码就已经很深、梯度先死」。

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三、训练：前向、损失、验证集

混合模型的前向一旦可微（参数移位规则或框架自动求导），就可以用交叉熵 + Adam。原仓要点：

• 从训练集内部切验证集，测试集只在 eval.py 动——避免泄漏；
• 权重与报告写到 code/model/（已 gitignore）；
• 逐样本预测表便于检查「总在猜同一类」之类的崩法。

完整训练入口仍是 train.py / eval.py / qml_core.py，需要本源 VQNet（产品页）。demo.py 在能 import pyvqnet 时做一次前向冒烟；否则打印安装说明并继续跑经典对照。

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四、贫瘠高原与「量子一定更强吗」

随机深线路的梯度方差会随比特数指数变小——贫瘠高原（barren plateau）：参数怎么动，损失几乎不变。这是变分 QML 的结构性风险，和 GAN 的模式坍塌不同，但同样表现为「看起来在训、其实学不动」。

图解说明：浅、有结构的编码 + 不太深的 HEA，是 NISQ 上还敢动手的原因之一；盲目加层往往会先把梯度训死。

逐步推导：贫瘠高原——随机线路梯度方差为何随比特数指数变小（点击展开）

变分损失 $C(\varphi )=⟨0|U^{†}(\varphi )HU(\varphi )|0⟩$。若 $U$ 在 $n$ 比特酉群上足够接近 Haar 随机（深随机线路、无结构纠缠），McClean et al. 指出

$${\mathrm{Var}}_{\varphi }[{\partial }_{{\varphi }_k}C]\sim \frac{\mathrm{poly}(n)}{2^{O(n)}}.$$

梯度的典型大小指数变小：Adam 看见的几乎是平地，参数怎么动损失都不动——这叫贫瘠高原。它和深度学习里「ReLU 死掉」不同：那边是局部硬饱和，这边是维数灾难在酉群上的版本。

逃避的工程直觉（不是定理）：浅、有问题结构的编码（本章的 Ry/Rz 角度头）；HEA 层数不要随 $n$ 线性乱加；局域可观测量比全局哈密顿量的高原来得晚。8 比特玩具刚好还在「敢动手」的边缘；把像素扩到 20 比特随机深线路，先要担心梯度方差，再担心分类准不准。

因此对照表必须公平：16×16 小 CNN 才和量子模型同一任务（3 vs 6）；LeNet-5 是另一条 28×28、0 vs 1 的经典路线。demo 在能 import pyvqnet 时做一次 8 样本前向冒烟，否则打印安装说明并继续跑 CNN / LeNet。

因此本章的对照实验是工程对比，不是「量子击败 LeNet」的榜单：

	量子混合	同任务小 CNN	原对照 LeNet-5
框架	VQNet	PyTorch	PyTorch
输入	16×16，数字 3 vs 6	同一套 npz	28×28，数字 0 vs 1
特征	FC 压缩 + 角度头	卷积	经典 LeNet 卷积块
量子资源	8 比特 + 固定 HEA	无	无
数据从哪来	dataset/*.npz	同上	torchvision MNIST（无 PNG）
默认依赖	需自备 pyvqnet	notebook 已有 torch	同上；下载失败则跳过

LeNet-5 的层结构与原独立示例一致（lenet.py），只是数据改为现场从 MNIST 筛 0/1，不再携带上千张 PNG。

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五、代码地图

docs/quantum/qml/code/
  demo.py          # 16x16 CNN + LeNet-5 对照 + 可选 VQNet 冒烟
  lenet.py         # 28x28 LeNet-5（torchvision MNIST，0 vs 1）
  exercise.py      # 角度头（纯 NumPy）
  qml_core.py      # 共享核心（import 需要 pyvqnet）
  train.py / eval.py
  dataset/*.npz    # 1000+200 张 16x16（3 vs 6）
  LICENSE-qml-mnist-classify.txt

建议阅读顺序：接口 → 训练循环 → 再决定是否安装 VQNet 跑满 24 epoch。对照时记住：16x16 小 CNN 才和量子模型同一任务；LeNet-5 是原示例的另一条经典路线（更大图、另一对数字）。

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六、小结

概念	一句话
混合 QML	经典压缩 + 量子编码 + 测量分类
角度头	隐藏向量 → $[0,2\pi ]$ 门角
HEA	硬件友好的固定纠缠模板
贫瘠高原	深随机线路梯度消失
本仓库策略	VQNet 原样可跑；缺依赖不 crash

量子信息五章到此收束。可回到 全景 或去 科学计算 看经典高维模拟的另一条路。

📥 Code

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lenet.py	—	Download
exercise.py	Open	Download

参考

1. 本源 VQNet：产品介绍、pyQPanda3 量子 ML 接口。
2. Cerezo et al., Variational quantum algorithms. Nat. Rev. Phys. (2021)；McClean et al., barren plateaus (2018).
3. Mitarai et al. / Schuld et al.：参数移位与混合量子-经典求导。
4. LeCun et al., LeNet-5；本章 lenet.py 为 0 vs 1 二分类改写。