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根轨迹 — demo.py 代码详解

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运行方式

cd docs/control/classical/root-locus/code
python demo.py

CPU、NumPy 即可。一张图 root_locus.png：横轴实部、纵轴虚部，颜色是 $K$。植物 $G(s)=1/(s(s+1)(s+3))$，特征多项式 $s^3+4s^2+3s+K$。

代码逐段详解

第1步：np.roots 解特征多项式

$$s^3+4s^2+3s+K=0$$

def closed_loop_roots(k):
    """s³ + 4s² + 3s + K = 0 的三个根。"""
    return np.roots([1.0, 4.0, 3.0, k])

• np.roots(coeff)：系数从最高次到常数项。[1, 4, 3, k] 就是 $1\cdot s^3+4s^2+3s+k$。
• 返回复数 np.complex128 数组。实根的虚部是 $0$（可能残留 ${10}^{-16}$）。
• 不把 $G(s)$ 写成有理函数对象：展开一次就够。

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第2步：扫描 $K$，记下稳定边界

ks = np.linspace(0.0, 40.0, 81)
...
        if np.all(np.real(rts) < 0):
            last_stable_k = k

• np.linspace(0, 40, 81)：$K$ 均匀 81 个点。根轨迹在 $K$ 大时变得稀疏，这是扫点法的代价；Evans 规则画的是连续曲线。
• np.all(np.real(rts) < 0)：三个根实部都为负才算渐近稳定。np.real 取实部；np.all 是「每一个都」。
• 网格是离散的，打印的「最大稳定 $K$」是网格上的近似，不是精确 Routh 边界。

内层 for r in rts 把三个根都丢进散点列表。同一 $K$ 的三个点颜色相同。

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第3步：散点 + 开环极点

sc = ax.scatter(reals, imags, c=colors, s=18, cmap='viridis', linewidths=0)
ax.plot([0, -1, -3], [0, 0, 0], 'rx', ms=10, mew=2, label='开环极点 K=0')

• c=colors：每个点一个 $K$，配合 cmap 做成色条。
• 'rx'：红色叉，正是控制教材里开环极点的记号。ms 点大小，mew 叉的线宽。
• set_aspect('equal')：否则虚轴方向会被压扁，共轭对称看不出来。

np.round(closed_loop_roots(k), 3)：打印时留三位，复数照样 round。

源码位置

clone 后打开（相对仓库根目录）：

docs/control/classical/root-locus/code/demo.py