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传递函数与时域响应 — demo.py 代码详解

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运行方式

cd docs/control/classical/transfer/code
python demo.py

CPU、NumPy 即可。一张图 tf_step.png：同一 ${\omega }_n=3$，四个 $\zeta$ 的单位阶跃。微分方程是 $G(s)$ 的时域原形，不用符号拉普拉斯。

代码逐段详解

第1步：常数

WN = 3.0
DT = 0.005
T_END = 6.0
R = 1.0

• WN：${\omega }_n$。越大振荡越密（欠阻尼时）。四个 $\zeta$ 共用，才能公平对比「只改阻尼」。
• DT = 0.005：比导论更小。欠阻尼 $\zeta =0.15$ 晃得快，步长大了峰值会偏。

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第2步：积标准二阶

$$\ddot{y}={\omega }_n^2(r-y)-2\zeta {\omega }_n\dot{y}$$

def step_response(zeta, wn=WN):
    n = int(T_END / DT)
    y, v = 0.0, 0.0
    ys = []
    for _ in range(n):
        a = wn ** 2 * (R - y) - 2.0 * zeta * wn * v
        v = v + DT * a
        y = y + DT * v
        ys.append(y)
    t = np.arange(n) * DT
    return t, np.array(ys)

• np.arange(n) * DT：长度为 $n$ 的时间轴，等价于导论里循环里 ts.append。
• 默认参数 wn=WN：调用时可改自然频率；本 demo 不改。
• 零初始 $y=\dot{y}=0$，对应传递函数「零状态响应」。

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第3步：超调百分比

def overshoot_pct(y):
    return float(max(0.0, np.max(y) - R) / R * 100.0)

• np.max(y)：全程峰值。过阻尼峰值就是末端，超调被 max(0.0, …) 截成 $0$。
• float(...)：NumPy 标量转成 Python float，打印更干净。
• 欠阻尼解析近似 $\sigma \approx \exp (-\zeta \pi /\sqrt{1-{\zeta }^2})$，代码故意不用，避免「公式对了但积分错了」被公式掩盖。

rf'$\zeta={z}$'：matplotlib 图例里的数学模式；rf 是 raw+f-string，反斜杠不用加倍。

源码位置

clone 后打开（相对仓库根目录）：

docs/control/classical/transfer/code/demo.py