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PID 控制 — demo.py 代码详解

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运行方式

cd docs/control/classical/pid/code
python demo.py

CPU、NumPy 即可。一张图 pid_step.png：左是位置阶跃，右是控制力。四条曲线：开环、$K_p=8$ 的 P、$K_p=8,K_d=4$ 的 PD、再加 $K_i=3$ 的 PID。植物是 $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=u$，参考 $r=1$。没有拉普拉斯、没有 scipy.signal，积分与 PID 都手写。

代码逐段详解

第1步：植物参数与步长

M, C, K = 1.0, 0.4, 2.0
DT = 0.01
T_END = 8.0
R = 1.0  # 阶跃目标位置

• M, C, K：质量、阻尼、刚度。与弹簧力 $Kx$ 共用字母 K，后面 PID 增益用小写 kp,ki,kd，避免撞名。
• DT = 0.01：积分步长。太大欧拉会漂；太小只是变慢。$8\mathrm{s}$ 仿真 → n = int(T_END / DT) 步。
• R：参考位置，不是现代控制那章的代价矩阵。开环稳态力用 R * K（这里的 K 是弹簧）。

np.random.seed(42) 写了，但本脚本无随机数，轨迹完全确定。

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第2步：plant_step — 半隐式欧拉

$$\ddot{x}=(u-c\dot{x}-kx)/m$$

def plant_step(x, v, u):
    """欧拉积分：ẍ = (u - c v - k x) / m。"""
    a = (u - C * v - K * x) / M
    v = v + DT * a
    x = x + DT * v
    return x, v

• 先更新 v 再更新 x：用的是新速度。这是半隐式（辛）欧拉，比「两处都用旧速度」的显式欧拉更稳一点，仍不是 RK4。
• 语法 C * v：标量乘法。状态不是数组，是两个 float，调试时比向量短。
• 为什么不把弹簧写进控制器？ 植物自己含 $kx$。开环必须提供 u = R*K 才能在稳态抵消它；闭环则让 PID 自己长出力。

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第3步：simulate — 开环 vs PID

def simulate(kp=0.0, ki=0.0, kd=0.0, open_loop=False):
    n = int(T_END / DT)
    xs, us, ts = [], [], []
    x, v, integ, e_prev = 0.0, 0.0, 0.0, 0.0
    for i in range(n):
        t = i * DT
        if open_loop:
            u = R * K  # 稳态力刚好抵弹簧，但暂态全靠植物
        else:
            e = R - x
            integ += e * DT
            de = (e - e_prev) / DT
            u = kp * e + ki * integ + kd * de
            e_prev = e
        x, v = plant_step(x, v, u)
        xs.append(x)
        us.append(u)
        ts.append(t)
    return np.array(ts), np.array(xs), np.array(us)

• 默认增益全 0：若忘了传 kp 又没开开环，u 恒为 0，质量会被弹簧拉回原点——那是第三条对照，本脚本没画。
• open_loop：不看 $e$，力一步到位。暂态是欠阻尼二阶系统的自由响应（外力相当于改平衡点）。
• e = R - x：负反馈。写成 x - R 会正反馈，曲线向外炸。
• integ += e * DT：矩形积分。没有抗饱和（anti-windup）；T_END 短、ki 不大，尚可。
• de = (e - e_prev) / DT：后向差分。第一步 e_prev=0，若 $x_0=0$ 则 $e=1$，微分项会冲一下——真实 D 还常加低通，这里故意裸着，好对照曲线。
• **kw 调用：main 里 dict(kp=8.0) 解包进关键字参数，开环那条只传 open_loop=True。

为什么积分用位置误差而不是力误差？ PID 的「静差」指 $x$ 到不了 $r$。弹簧会在 $x=r$ 时仍要 $u=kr$，纯 P 的 $u=k_p(r-x)$ 在 $x\to r$ 时 $u\to 0$，稳态方程 $0=kr$ 矛盾，所以必留静差。I 项把这份力慢慢攒出来。

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第4步：超调与静差

def overshoot(x):
    return float(max(0.0, np.max(x) - R) / R * 100.0)

def ss_error(x):
    return float(abs(x[-1] - R))

• 超调：峰值超出 $r$ 的百分比。从未超过则 $0$，避免负超调干扰读数。
• x[-1]：最后一样本当「稳态」。严格应收尾段平均；8 秒对这组参数够用。
• float(...)：np.max 可能是 numpy 标量，打印时统一成 Python float。

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第5步：四条对照与双轴图

cases = [
    ('开环', dict(open_loop=True)),
    ('P  kp=8', dict(kp=8.0)),
    ('PD kp=8 kd=4', dict(kp=8.0, kd=4.0)),
    ('PID kp=8 ki=3 kd=4', dict(kp=8.0, ki=3.0, kd=4.0)),
]

同一植物、同一 $r$，只改控制器。标签字符串里写出增益，图例才读得懂。

t, x, u = simulate(**kw)
axes[0].plot(t, x, lw=2, label=name)
axes[1].plot(t, u, lw=1.4, label=name)

• **kw：字典拆成 simulate(open_loop=True) 或 simulate(kp=8.0, kd=4.0)。ki 缺省 0。
• lw：线宽。位置更粗，力更细，避免右图糊成一块。
• axhline(R, ...)：参考水平线。没有它很难判断静差。

保存到章节 images/pid_step.png（脚本相对路径 ../images），不是 CWD。

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关键概念速查表

概念	数学 / 直觉	代码
植物	$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=u$	plant_step
半隐式欧拉	先 $v$ 后 $x$	v = v + DT*a
开环	$u=kr$	u = R * K
误差	$e=r-x$	e = R - x
PID	$K_{p}e+K_i\int e+K_d\dot{e}$	kp*e + ki*integ + kd*de
超调	$(maxx-r)/r$	overshoot
静差	$|x(\mathrm{\infty })-r|$	ss_error
**kw	字典变关键字	simulate(**kw)

源码位置

clone 后打开（相对仓库根目录）：

docs/control/classical/pid/code/demo.py