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导数与微分 — Python / C++ 代码详解

Download demo.pyDownload dual.hppDownload demo.cpp

运行方式

cd docs/math/derivative/code
python demo.py
g++ -std=c++17 demo.cpp -o deriv_demo

两张图：deriv_secant.png（割线 → 切线）、deriv_fd_error.png（中心差分误差随 $h$）。C++ 对 $x^3-2x$ 在 $x=2$ 印 $f=4,f^{\prime }=10$，三条路（对偶数、多项式、差分）应一致。

代码逐段详解（Python）

第1步：Dual — 为什么乘法不能只乘 .v

对偶数 $(v,d)$ 表示 $v+d\epsilon$，${\epsilon }^2=0$。加法分量相加；乘法：

$$(u+u^{\prime }\epsilon )(v+v^{\prime }\epsilon )=uv+(u{v}^{\prime }+u^{\prime }v)\epsilon .$$

def __mul__(self, other):
    other = other if isinstance(other, Dual) else Dual(other, 0.0)
    return Dual(self.v * other.v, self.v * other.d + self.d * other.v)

• 常数变成 Dual(other, 0)：2.0 * t 走 __rmul__，否则 double 不知道怎么乘 Dual。
• Dual.var(x)：种子 $d=1$，表示「对这个 $x$ 求导」。对常数求导应得到 0，不要误写成 var。
• t * t * t - 2.0 * t：和在纸上写 $x^3-2x$ 同一棵表达式树。.d 就是 $3x^2-2$。

C++ operator* 是同一行公式。不要写成 a.v*b.v 配 a.d*b.d——那是错的逐元乘。

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第2步：割线图 — 斜率怎么画成线

slope = (y2 - y1) / h
line_y = y1 + slope * (line_x - a)

过点 $(a,f(a))$、斜率为差商的直线。$h=0$ 那一档改用解析 $f^{\prime }(a)=3a^2-2$。三张图共用 sharey=True，才能看出割线在转动，而不是坐标系在偷偷缩放。

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第3步：多项式系数与差分误差

c = np.array([0.0, -2.0, 0.0, 1.0])  # c0 + c1 x + c2 x^2 + c3 x^3
poly_diff(c)  # [1*(-2), 2*0, 3*1] → [-2, 0, 3] 即 -2 + 3x^2

下标 $i$ 是幂次。求导后长度减一。

中心差分扫 hs = logspace(-1, -8, 8)：误差先降后升。对数横轴才能看见 ${10}^{-6}$ 附近的槽。这是在提醒：黑盒差分能用，但不是「$h$ 越小越好」。

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C++：dual.hpp

Dual::var / Dual::cnst 比布尔参数更不容易用反。sin/exp 的 $d$ 分量乘的是各自的解析导数，再乘 x.d（链式法则）。central_diff 吃函数指针 double (*)(double)，所以 cube_minus_2x 必须是普通函数，不能是带捕获的 lambda（除非写成不捕获并转成指针，教学里不绕这个弯）。

x * x * x - 2.0 * x 依赖 operator*(double, Dual)，否则 2.0 * x 编不过。

源码位置

• docs/math/derivative/code/demo.py
• docs/math/derivative/code/dual.hpp
• docs/math/derivative/code/demo.cpp