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常见分布 — Python / C++ 代码详解

Download demo.pyDownload dist.hppDownload demo.cpp

运行方式

cd docs/math/distributions/code
python demo.py
g++ -std=c++17 demo.cpp -o dist_demo

两张图：dist_discrete.png（二项柱 vs 泊松柱）、dist_continuous.png（高斯 vs 指数）。C++ 打印 $P(K=3)$ 与 $\phi (0)$，应和 Python 终端一致。

代码逐段详解（Python）

第1步：math.comb 与阶乘

def binomial_pmf(k, n, p):
    return math.comb(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))

• math.comb（3.8+）：$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$。不要自己用 math.factorial(n)/...，大 $n$ 会先爆再除。
• p ** k：整数次幂。$p=0.3,k=3$ 是 0.027。

泊松用 $e^{-\lambda }{\lambda }^k/k!$。$k$ 到 10 阶乘还安全；C++ 改走 $\log$ 累加，避免更大 $k$ 溢出。

λ=np=3：泊松是二项在「很多次、每次很难中」极限下的亲戚。$n=10$ 还不算极限，两根柱子只是「像」，不会重合。

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第2步：高斯与指数

z = (x - mu) / sigma
return np.exp(-0.5 * z ** 2) / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi))

• 先标准化再平方：写成 (x-mu)**2 / (2 sigma**2) 等价，但 $z$ 更不容易漏系数。
• 分母有 $\sigma$：$\sigma$ 变大，峰变矮，积分才能仍是 1。漏掉会让练习断言失败。

指数：x>=0 才非零。linspace(-3,6) 左半轴应贴着横轴。Exp(λ=1) 在 0 处高度为 1，和 $\mathcal{N}(0,1)$ 的 $\phi (0)\approx 0.40$ 不是一回事——不要比峰谁高，比的是支撑集和对称性。

bar 的 ks-0.15 / ks+0.15 让两族柱子并排，宽度 0.3 刚好不重叠。

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C++：dist.hpp

n_choose_k 用「逐步乘再除」保持整数：r = r * (n-k+i) / i。$n=10$ 精确。poisson_pmf 在对数域：$-\lambda +k\log \lambda -\sum \log i$。

可选 Eigen 在这里帮不上忙：这些是标量公式，不是矩阵。

源码位置

• docs/math/distributions/code/demo.py
• docs/math/distributions/code/dist.hpp
• docs/math/distributions/code/demo.cpp