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特征值与二次型 — Python / C++ 代码详解

Download demo.pyDownload power.hppDownload demo.cpp

运行方式

cd docs/math/eigen/code
python demo.py
g++ -std=c++17 demo.cpp -o eigen_demo

两张图：eigen_ellipse.png（$x^{\mathrm{\top }}Ax=1$）和 eigen_power.png（Rayleigh 商贴向 ${\lambda }_{max}$）。$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ 对称正定，最大特征值 $(5+\sqrt{5})/2\approx 3.618$。

代码逐段详解（Python）

第1步：np.linalg.eigh — 对称专用

w, Q = np.linalg.eigh(A)  # 升序

• eigh 不是 eig：对称矩阵用前者，返回正交 $Q$、实 $\lambda$，且按升序排。eig 不保证正交，还可能给出复数。
• w[0] 最小，所以椭圆长轴沿 $Q[:,0]$（$\lambda$ 小 → $1/\sqrt{\lambda }$ 大）。

椭圆参数方程：特征坐标里 ${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2=1$，取

y = np.stack([np.cos(t) / np.sqrt(w[0]), np.sin(t) / np.sqrt(w[1])], axis=0)
pts = (Q @ y).T

• stack(..., axis=0)：得到 shape (2, 200)，每一列是一个 $y$。
• Q @ y：变回原坐标。箭头画到 $Q_{:i}/\sqrt{{\lambda }_i}$，端点落在椭圆上。

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第2步：幂迭代

Av = A @ v
lam = float(v @ Av)          # Rayleigh，已假定 ||v||=1
v = Av / np.linalg.norm(Av)

• 先乘再归一化：只归一化 $Av$，不要对 $A$ 做任何分解。
• v @ Av：NumPy 一维向量的 @ 是内积。
• 起步 [1,0]：不与最大特征向正交就行。若运气差取到了较小特征向，会停在较小的 $\lambda$——随机起步更稳，本 demo 钉死向量以便和 C++ 对照。

曲线应在十几步内贴上红色虚线。差距 $|{\lambda }_2/{\lambda }_1|$ 越小收敛越慢；本例约 $1.382/3.618\approx 0.38$，很快。

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C++：power.hpp

Vec2 / Mat2 是 std::array。power_iteration 原地改 v，返回最后一步 Rayleigh。不要和线代章的 struct Mat2 搞混——那是另一个头文件。

可选 Eigen：

Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix2d> es(A);
double lmax = es.eigenvalues().maxCoeff();

幂迭代的意义是：不求全部特征对也能摸到最大的那个（PageRank 同款）。

源码位置

• docs/math/eigen/code/demo.py
• docs/math/eigen/code/power.hpp
• docs/math/eigen/code/demo.cpp