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s01 AI概述 — exercise.py 练习指南

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练习目标

通过补全感知机的三个核心组件，深入理解感知机的数学原理和代码实现。完成这个练习后，你将能够：

1. 用一行 NumPy 代码实现阶跃激活函数（理解向量化操作）
2. 实现感知机的预测方法（理解 $w\cdot x+b\to \text{sign}$ 的完整流程）
3. 掌握感知机权重更新规则（理解"朝正确方向微调参数"的直觉）

预备知识

在开始练习前，确保你已经理解了以下概念（参见 demo.py 代码详解 中对这些概念的详细解释）：

• 感知机的数学模型：$\hat{y}=\text{sign}(w\cdot x+b)$
• 阶跃函数的定义：$\text{sign}(z)=+1(z\ge 0),-1(z<0)$
• 感知机学习规则：$w\leftarrow w+\eta \cdot y_i\cdot x_i$（仅当误分类时）
• 向量化运算：np.dot() 和 np.where() 的用法

任务清单

任务1：实现阶跃激活函数 _activation(z)

在 PerceptronExercise 类的 _activation 方法中，你需要实现阶跃函数。

• 提示：使用 np.where(condition, value_if_true, value_if_false) 实现向量化判断
• 期望行为：
  • $z\ge 0$ 时输出 $+1$
  • $z<0$ 时输出 $-1$
• 测试方法：输入 np.array([-1, 0, 1])，期望输出 [-1, 1, 1]

任务2：实现预测方法 predict(X)

在 PerceptronExercise 类的 predict 方法中，你需要完成两个步骤：

1. 计算线性组合 $z=w\cdot X+b$（对所有样本批量计算）
2. 将 $z$ 通过激活函数得到类别标签

• 提示：
  • 使用 np.dot(X, self.w) + self.b 进行批量计算（$X$ 是 $(n,d)$ 矩阵，$w$ 是 $(d,)$ 向量，结果自动广播）
  • 调用 self._activation() 将得分转换为类别
• 需要调用的函数：
  • np.dot()：矩阵乘法
  • self._activation()：你在任务1中实现的阶跃函数
• 期望输出：返回形状为 $(n\mathrm{\_}samples,)$ 的数组，每个元素为 $+1$ 或 $-1$

任务3：实现感知机权重更新规则

在 fit 方法中，找到 TODO 3 标记的位置。当条件 y_i * z <= 0 成立（即样本被误分类）时，实现权重和偏置的更新。

• 用到的公式：
  • $w\leftarrow w+\eta \cdot y_i\cdot x_i$
  • $b\leftarrow b+\eta \cdot y_i$
• 直觉解释：
  • 如果 $y_i=+1$ 但预测为 $-1$：把 $w$ 往 $x_i$ 的正方向推
  • 如果 $y_i=-1$ 但预测为 $+1$：把 $w$ 往 $x_i$ 的反方向推
• 需要调用的变量：
  • self.learning_rate：学习率 $\eta$
  • x_i：当前样本的特征向量
  • y_i：当前样本的真实标签
  • self.w：权重向量（需要就地修改）
  • self.b：偏置标量（需要就地修改）
• 期望输出：训练完成后，对线性可分数据应达到 100% 准确率，损失曲线（误分类数）单调下降至 0

验证标准

运行 python exercise.py，如果你的实现正确：

1. 训练过程中的误分类数逐渐减少到 0
2. 最终打印 训练集准确率: 100.00%
3. 显示 ✓ 完美！你的感知机实现正确，所有样本分类正确。
4. 可视化图显示清晰的决策边界将红蓝两类数据完全分开

源码位置

clone 后打开（相对仓库根目录）：

docs/ml/foundations/ai-overview/code/exercise.py