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神经编码：速率、时间与群体 — demo.py 代码详解

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运行方式

cd docs/neuro/encoding/code
python demo.py

CPU、NumPy。两张图：encoding_tuning_population.png（余弦调谐 + 群体向量）和 encoding_sparsity.png（稠密速率 vs 短窗稀疏尖峰）。种子 42，终端打印群体估计与 40° 真刺激的误差。

代码逐段详解

第1步：cosine_tuning — 半波整流的余弦

运动皮层常用的玩具调谐：

$$r(\theta )=r_0+r_{max}max(0,\cos (\theta -{\theta }_{\mathrm{pref}}))$$

def cosine_tuning(theta, pref, r_max=40.0, r0=5.0):
    return r0 + r_max * np.maximum(0.0, np.cos(theta - pref))

• theta - pref：刺激方向减偏好方向。两者都是弧度。np.cos 对数组逐元素。
• np.maximum(0.0, ...)：逐元素和 0 取大。余弦负半周截掉，细胞在「反方向」只剩基线 $r_0=5$ Hz，不会出现负发放率。
• r_max=40：峰值为 $5+40=45$ Hz。数很小，后面泊松计数才不会爆。

这不是高斯调谐（V1 更常用高斯）；余弦 + 半波是方向选择性最简单的可微形状。

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第2步：一簇偏好方向，画出调谐曲线

prefs = np.linspace(0, 2 * np.pi, 12, endpoint=False)
thetas = np.linspace(0, 2 * np.pi, 180)
for p in prefs[::2]:
    axes[0].plot(np.degrees(thetas), cosine_tuning(thetas, p), lw=1.4)

• linspace(0, 2π, 12, endpoint=False)：12 个细胞均匀铺满一圈。endpoint=False 很关键：若 True，0 和 $2\pi$ 是同一方向，会重复一个细胞。
• prefs[::2]：每隔一个画，左图 6 条曲线，避免 12 条糊成一张皮。语法 start:stop:step，::2 是步长 2。
• np.degrees(thetas)：横轴用度，读图更直观。调谐函数内部仍用弧度。

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第3步：群体向量 — 泊松计数再加权方向

刺激固定在 40°。每个细胞的期望速率由调谐给出，观测是短窗口里的泊松计数：

$$n_i\sim \mathrm{Poisson}(r_i\mathrm{\Delta }t),\overrightarrow{v}=\sum _i{n}_i(\cos {\theta }_i,\sin {\theta }_i)$$

估计方向 $\hat{\theta }=\mathrm{atan}2(v_y,v_x)$。

stim = np.deg2rad(40.0)
rates = cosine_tuning(stim, prefs)
spikes = np.random.poisson(rates * 0.1)  # 100 ms 窗口
vec = np.sum(spikes[:, None] * np.stack([np.cos(prefs), np.sin(prefs)], axis=1), axis=0)
est = np.arctan2(vec[1], vec[0])

• np.deg2rad(40)：刺激也要弧度，才能和 prefs 相减。
• rates * 0.1：$\mathrm{\Delta }t=100$ ms $=0.1$ s。泊松参数是期望个数 $r\mathrm{\Delta }t$，不是 Hz 本身。
• np.random.poisson：对数组每个细胞独立抽样。同一套 rates 每次运行（种子固定则同）得到整数尖峰数。
• spikes[:, None]：(12,) → (12,1)，好和 (12,2) 的方向向量广播相乘。
• np.stack([cos, sin], axis=1)：两个 (12,) 堆成 (12,2)。axis=1 表示新轴插在列向。
• np.sum(..., axis=0)：对细胞维求和，留下 2D 向量。
• np.arctan2(y, x)：四象限反正切。只用 arctan(y/x) 会在第二、三象限出错。参数顺序是 先 y 后 x。

右图：细胞画在其偏好方向上、半径正比于速率；红箭头真刺激（单位长），绿箭头估计（0.8 倍长，避免完全重叠）。set_aspect('equal') 否则角度视觉会歪。

终端误差：

abs(((np.degrees(est)-40+180)%360)-180)

把角度差折到 $[-180,180]$ 再取绝对，避免 ${359}^{\circ }$ 和 $1^{\circ }$ 被算成差 358。

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第4步：稀疏度 — 同一套「有速率」的两种看法

r = np.clip(np.random.gamma(2.0, 8.0, size=200), 0, None)
spike_win = (np.random.rand(200) < r * 0.02).astype(float)
ax.bar([0, 1], [np.mean(r < 0.05), 1.0 - np.mean(spike_win > 0)], ...)

• np.random.gamma(2, 8, size=200)：200 个细胞的速率，形状偏斜、多数中等、少数很高。clip(..., 0, None) 下限 0、上限不限（None）。
• 左柱 mean(r < 0.05)：速率几乎为 0 的比例。连续速率很少严格是 0，这柱应较矮。
• 右柱：20 ms 窗（$r\times 0.02$ 当发放概率）里的伯努利试验。rand() < p 是一次尖峰与否。1 - mean(spike_win>0) = 短窗内沉默细胞比例，通常高——稀疏是时间窗的产物，不是「速率本身到处是零」。
• .astype(float)：布尔变 0.0/1.0，后面 > 0 仍可用。

set_xticks([0, 1], ['速率接近 0 的比例', '短窗内沉默细胞比例'])：位置和标签一起给（较新 matplotlib API）。

右图群体向量里：

axes[1].scatter(np.cos(prefs) * rates, np.sin(prefs) * rates, ...)
axes[1].arrow(0, 0, np.cos(stim), np.sin(stim), ...)

细胞画在「偏好方向 × 该刺激下的速率」上，不是画在单位圆上。速率高的点离原点更远，群体向量的几何才看得见。arrow 的 width=0.03 是箭杆宽度（数据坐标）。绿箭乘 0.8 只为了不和红箭完全重合，不是把估计缩短成 0.8 的置信度。

Gamma 的 shape=2, scale=8 期望是 $16$ Hz 量级。np.random.rand(200) 是 $[0,1)$ 均匀，与 r * 0.02 比大小 = 一次伯努利。两张图数据源不同：第一张 12 个余弦细胞 + 泊松；第二张 200 个独立 Gamma 速率——不要把稀疏度柱状图理解成「同一群方向细胞」。

grid(True, axis='y') 只画横线，柱状图竖线多余。种子 42 钉死泊松和 Gamma，终端误差可复现。

入口 main() 先画调谐+群体，再画稀疏度，最后一行 print 角度误差。没有训练循环。cosine_tuning(stim, prefs) 里 stim 是标量、prefs 是长度 12 的数组，广播后每个细胞一个速率。np.maximum 与 np.max 不同：前者逐元素对 0 取大，后者会把整段数组收成一个标量，调谐曲线会塌掉。

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关键概念速查表

概念	数学 / 直觉	代码
余弦调谐	$r_0+r_{max}[\cos {]}_{+}$	cosine_tuning
endpoint=False	一圈不重复 0 与 $2\pi$	prefs
[::2]	隔一个取一个	少画几条曲线
泊松计数	$n\sim \mathrm{Poisson}(r\mathrm{\Delta }t)$	poisson(rates * 0.1)
群体向量	$\sum n_i{\overrightarrow{u}}_i$	spikes[:, None] * stack(...)
arctan2	四象限角度	est
[:, None]	加轴广播	加权求和
稀疏	短窗大量沉默	rand() < r*0.02

源码位置

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docs/neuro/encoding/code/demo.py