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量子存储 — demo.py 代码详解

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运行方式

cd docs/quantum/memory/code
python demo.py

CPU、NumPy。两张图：t1_t2_decay.png（$T_1$ 布居 vs $T_2$ 相干）和 write_store_read.png（等待越久读出保真度越低）。玩具参数 T1=1.0、T2=0.4（任意时间单位），不是某实验室拟合。$T_2<T_1$：相位通常比能量掉得更快。

代码逐段详解

第1步：amp_damping — 振幅阻尼（$T_1$）

激发态以概率 $p=1-e^{-t/T_1}$ 「掉下来」。Kraus：

$$E_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \sqrt{1-p}\end{array}\right),E_1=\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{p}\\ 0& 0\end{array}\right),\rho \mapsto E_0\rho E_0^{†}+E_1\rho E_1^{†}$$

def amp_damping(rho, t, t1=T1):
    p = 1.0 - np.exp(-t / t1)
    e0 = np.array([[1, 0], [0, np.sqrt(1 - p)]], dtype=complex)
    e1 = np.array([[0, np.sqrt(p)], [0, 0]], dtype=complex)
    return e0 @ rho @ e0.conj().T + e1 @ rho @ e1.conj().T

• $p=1-e^{-t/T_1}$：$t=0$ 时 $p=0$，信道是恒等；$t\to \mathrm{\infty }$ 时 $p\to 1$，所有布居落到 $|0⟩$。
• e0 @ rho @ e0.conj().T：每一支 Kraus 都是 $E\rho E^{†}$。两支相加保证 CPTP（迹保持）。
• 对 $\rho =|1⟩⟨1|$，对角元 ${\rho }_{11}$ 应按 $e^{-t/T_1}$ 掉。这就是能量弛豫。振幅阻尼也会顺带削弱非对角（相干寿命不会长过 $2T_1$），但本图的 $T_2$ 曲线用的是下面的纯退相位，好对比两条钟。

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第2步：dephase — 只打非对角（$T_2$）

$${\rho }_{01}(t)={\rho }_{01}(0)e^{-t/T_2},{\rho }_{10}={\rho }_{01}^{\ast }$$

def dephase(rho, t, t2=T2):
    out = rho.copy()
    out[0, 1] *= np.exp(-t / t2)
    out[1, 0] *= np.exp(-t / t2)
    return out

• .copy()：不要改调用者手里的 $\rho$。后面写-存-读会反复从 rho0 出发。
• 语法 out[0, 1]：第 0 行第 1 列，即 ${\rho }_{01}$。*= 乘衰减因子。对角不动：纯退相位不改变布居，只丢相对相位。
• 对赤道态 $|+⟩$，$|{\rho }_{01}|$ 从 $1/2$ 指数掉到 0。这比 $T_1$ 更快（T2=0.4 < T1=1）。

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第3步：fidelity_pure — 纯态相对密度矩阵的保真度

对纯态 $|\psi ⟩$ 与任意 $\rho$：

$$F=⟨\psi |\rho |\psi ⟩$$

（纯态–纯态时这就是 $|⟨\psi |\varphi ⟩{|}^2$ 的推广。）

def fidelity_pure(rho, psi):
    return float(np.real(psi.conj() @ rho @ psi))

• psi.conj() @ rho @ psi：行向量 $⟨\psi |$ 乘 $\rho$ 再乘 $|\psi ⟩$，得到标量。conj() 在 psi 上，不是对 $\rho$。
• np.real + float：数学上 $F$ 是实数；转 Python 标量好存进 list。

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第4步：demo_t1_t2 两条曲线

rho1 = np.array([[0, 0], [0, 1]], dtype=complex)
plus = np.array([1, 1], dtype=complex) / np.sqrt(2)
rho_plus = np.outer(plus, plus.conj())
pop1 = [np.real(amp_damping(rho1, t)[1, 1]) for t in times]
coh = [np.abs(dephase(rho_plus, t)[0, 1]) for t in times]

• [[0,0],[0,1]]：$\rho =|1⟩⟨1|$。[1,1] 是 $⟨1|\rho |1⟩$。
• 列表推导：对每个时刻单独作用信道。80 个点，矩阵 2×2，不必向量化。
• 左曲线从 1 掉向 0（$T_1$）；右曲线从 0.5 掉向 0（$|{\rho }_{01}|$）。同一张图两条钟，存储章节正文的「能量 vs 相位」。

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第5步：写-存-读 — 两个信道叠在一起

rho = dephase(amp_damping(rho0, t), t)
fids.append(fidelity_pure(rho, psi))

写入 $|\psi ⟩=|+⟩$（outer 成 ${\rho }_0$），等待时间 $t$ 内先振幅阻尼、再退相位，再用同一 $|\psi ⟩$ 算保真度。读出不是另做测量模拟，而是直接 $F(\rho (t),\psi )$：理想读出、只看存储过程把态弄糊了多少。

$t=0$ 时 $F=1$；$t$ 增大两条噪声都加重，$F$ 单调下降。这就是「等得越久越糊」，量子内存的核心约束。

times = np.linspace(0, 3.0, 80)（T1/T2 图）和 linspace(0, 2.5, 40)（写-存-读）上限不同：前者要看到 $T_1=1$ 下布居掉到接近 0，后者保真度掉到「已经很糊」即可，不必同一横轴。列表推导里 amp_damping(rho1, t)[1, 1]：先得到 2×2，再取 ${\rho }_{11}$。np.abs(...) 取相干模长，因为退相位后 ${\rho }_{01}$ 仍可能带相位，模才是「还剩多少相干」。

Kraus 完备性：$E_0^{†}{E}_0+E_1^{†}{E}_1=I$（对任意 $p\in [0,1]$）。代码没有断言这一点，但 sqrt(1-p) 与 sqrt(p) 就是为了满足它。$p$ 因 exp 不会超出 $[0,1)$，不必再 clip。

两张图都 tight_layout + dpi=140。入口连续调用 demo_t1_t2() 和 demo_write_store_read()，没有 main 函数。

写-存-读里对每个 $t$ 都从同一份 rho0 出发，而不是把上一步的 $\rho$ 再送进信道。后者会把时间积分错成「再阻尼一次」，曲线不是 $e^{-t/T}$。rho0 = np.outer(psi, psi.conj()) 与 overview 章构造 $|+⟩⟨+|$ 的方式相同。

T2=0.4 < T1=1 写在模块级常数。若把 T2 改成大于 $2T_1$，物理上不自洽（振幅阻尼已经限制相干），但 dephase 是独立玩具信道，代码不会报错——这是教学拆分，不是完整 Lindblad。

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关键概念速查表

概念	数学 / 直觉	代码
$T_1$	布居 $e^{-t/T_1}$	amp_damping，Kraus $E_0,E_1$
$p=1-e^{-t/T_1}$	掉下来的概率	amp_damping 开头
$T_2$	非对角 $e^{-t/T_2}$	dephase
.copy()	不改原 $\rho$	dephase
保真度	$⟨\psi |\rho |\psi ⟩$	fidelity_pure
outer	纯态 $\rho$	rho_plus / rho0
写-存-读	两信道串联	dephase(amp_damping(...), t)
[0,1] / [1,1]	相干 / 布居	矩阵下标

源码位置

clone 后打开（相对仓库根目录）：

docs/quantum/memory/code/demo.py