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量子信息全景 — demo.py 代码详解

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运行方式

cd docs/quantum/overview/code
python demo.py

CPU、NumPy。一张图 superposition_vs_mixture.png：左栏直接测 $Z$，叠加 $|+⟩$ 和完全混合 $\frac{1}{2}I$ 都像抛硬币；右栏先 $H$ 再测 $Z$，只有叠加被「收回」到 $|0⟩$。这是五条量子专题共用的第一课：直方图 50/50 不能区分相干与混合。没有 Qiskit。

代码逐段详解

第1步：Hadamard 矩阵

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),H|0⟩=|+⟩,H|+⟩=|0⟩$$

H = np.array([[1, 1], [1, -1]], dtype=complex) / np.sqrt(2)

• dtype=complex：密度矩阵乘法一般会出复数。这里 $H$ 碰巧是实的，但后面 conj().T 的写法对一般幺正门也成立。
• / np.sqrt(2)：四个元素一起缩放，保证 $H^{†}H=I$。不要只除第一行。

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第2步：shots_from_diag — 用对角元当 Born 概率

密度矩阵 $\rho$ 在计算基下测 $Z$，结果 $0/1$ 的概率是对角元 ${\rho }_{00},{\rho }_{11}$（实数、非负、和为 1）。

def shots_from_diag(diag, n=2000):
    p = np.real(diag)
    p = p / p.sum()
    return np.random.choice(2, size=n, p=p)

• np.real：数值误差可能给对角留下 ${10}^{-16}$ 虚部。choice 要实数概率。
• p / p.sum()：再归一化一次，避免「和差一点点」导致 choice 报错。
• np.random.choice(2, size=n, p=p)：在 $\{0,1\}$ 里按 $p$ 抽 $n$ 次。返回长度 2000 的整数数组，后面 mean(a==0) 就是频率。
• 只看对角 = 丢掉相干信息。所以左图两种 $\rho$ 直方图几乎一样。这不是弱测量，就是计算基投影。

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第3步：两种 $\rho$ — 外积 vs 单位矩阵

$$|+⟩=\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}},{\rho }_{\sup }=|+⟩⟨+|,{\rho }_{\mathrm{mix}}=\frac{1}{2}I$$

plus = np.array([1, 1], dtype=complex) / np.sqrt(2)
rho_sup = np.outer(plus, plus.conj())
rho_mix = 0.5 * np.eye(2)

• np.outer(a, b)：外积 $a{b}^{\mathrm{\top }}$。纯态密度矩阵 $|\psi ⟩⟨\psi |=$ outer(psi, psi.conj())。.conj() 是复共轭；实向量时看起来多余，公式要对。
• np.eye(2)：2×2 单位阵。0.5 * I 是最大混合态：对角 1/2，非对角为 0（没有相干）。
• ${\rho }_{\sup }$ 的非对角是 $1/2$，这是能被 $H$ 收回的关键。两种态的对角相同，所以直接测 $Z$ 分不出来。

z_sup = shots_from_diag(np.diag(rho_sup))
z_mix = shots_from_diag(np.diag(rho_mix))

np.diag(M) 抽对角，得到长度 2 的一维数组。两份都应约 50/50。

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第4步：先 $H$ 再测 — 共轭作用在 $\rho$ 上

对密度矩阵做幺正 $U$：$\rho \mapsto U\rho U^{†}$。

rho_sup_h = H @ rho_sup @ H.conj().T
rho_mix_h = H @ rho_mix @ H.conj().T

• 语法 @：矩阵乘。H.conj().T 是 $H^{†}$。$H$ 实对称时等于 $H$ 自己，写成 dagger 是为了和课本一致。
• 叠加：$H|+⟩=|0⟩$，所以 ${\rho }_{\sup }$ 变成 $|0⟩⟨0|$，测 $Z$ 几乎全是 0。
• 混合：$H(\frac{1}{2}I)H^{†}=\frac{1}{2}I$（单位阵与任何幺正对易）。直方图仍约 50/50。

右图并排柱：叠加的 0 柱接近 1，混合两柱仍平。这就是「叠加不是不知道，混合才是真随机」——同一套 $Z$ 测量分不出来，换一组测量（这里是 $H$ 再 $Z$，即测 $X$）才能分。

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第5步：并排柱状图

for ax, (a, b), title in zip(
    axes,
    [(z_sup, z_mix), (h_sup, h_mix)],
    ['直接测 Z（都像抛硬币）', '先 H 再测 Z（叠加能「收回」）'],
):
    ax.bar([-0.2, 0.8], [np.mean(a == 0), np.mean(a == 1)], width=0.35, label='叠加 |+>')
    ax.bar([0.2, 1.2], [np.mean(b == 0), np.mean(b == 1)], width=0.35, label='混合 ½I')

• zip 三列等长：子图、数据对、标题。
• a == 0：布尔数组，np.mean 等于频率。
• x 位置错开 ±0.2：两组柱并排，宽度 0.35 才不重叠。set_xticks([0, 1]) 标签仍对准 0/1。
• sharey=True：两个子图共用纵轴。set_ylim(0, 1) 锁死频率轴，避免某次抽样全是 0 时纵轴自动缩到 0.02。
• fig.suptitle：整张图的结论；子图 set_title 讲操作。2000 shots 涨落约 $1/\sqrt{n}\approx 2\mathrm{\%}$，右图叠加「几乎全 0」会远远超出这个涨落。

入口是 if __name__ == '__main__': demo()，函数名是 demo 不是 main。种子 42 钉死抽样，图可复现。

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关键概念速查表

概念	数学 / 直觉	代码
$|+⟩$	均匀叠加	[1,1]/sqrt(2)
纯态 $\rho$	$|\psi ⟩⟨\psi |$	np.outer(plus, plus.conj())
混合	$\frac{1}{2}I$，无相干	0.5 * np.eye(2)
Born（计算基）	对角元	shots_from_diag
choice(..., p=)	按概率抽样	2000 shots
幺正作用	$U\rho U^{†}$	H @ rho @ H.conj().T
测 $X$	先 $H$ 再测 $Z$	右图
@	矩阵乘	不是逐元素 *

源码位置

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