WARNING

🧪 Beta公测版本提示：教程主体已完成，正在优化细节，欢迎大家提Issue反馈问题或建议。

量子模拟 — demo.py 代码详解

Download demo.py

运行方式

cd docs/quantum/simulation/code
python demo.py

CPU、NumPy。两自旋横场 Ising，比精确 $e^{-iHT}$ 与一阶 Trotter。一张图 trotter_error.png（对数轴：步数↑，失真度↓）。希尔伯特空间只有 4 维，对角化是精确答案不是近似。

代码逐段详解

第1步：把 $H$ 拆成可对角的两块

$$H=A+B,A=JZ\otimes Z,B=h(X\otimes I+I\otimes X)$$

ZZ = np.kron(Z, Z)
XI = np.kron(X, I2)
IX = np.kron(I2, X)
A = J * ZZ
B = h * (XI + IX)
Htot = A + B

J=1、h=0.7、总时间 T=1.2。$A$ 在计算基对角（$ZZ$ 本征值 ±1）；$B$ 在 $X$ 基对角。分开指数化比直接对 $H$ 做 Trotter 更便宜——这正是数字模拟要把哈密顿量劈开的原因。

np.kron 顺序与两比特计算基 |00⟩…|11⟩ 一致。

---

第2步：expm_herm — 厄米矩阵的 $e^{-iMt}$

$$M=V\mathrm{diag}(\lambda )V^{†}\Rightarrow e^{-iMt}=V\mathrm{diag}(e^{-i\lambda t})V^{†}$$

w, v = np.linalg.eigh(m)
return v @ np.diag(np.exp(-1j * w * t)) @ v.conj().T

• eigh：专供厄米，特征值实。不要用通用 eig（可能出复本征值噪声）。
• -1j * w * t：Schrödinger 演化 $e^{-iHt}$。漏掉负号会变成时间反演。
• v.conj().T：本征矢矩阵的 dagger。eigh 的 v 列是本征矢。

精确解：u_exact = expm_herm(Htot, T)，一次对角化 $A+B$。

---

第3步：一阶 Trotter

$$e^{-i(A+B)t}\approx (e^{-iB\mathrm{\Delta }t}{e}^{-iA\mathrm{\Delta }t}{)}^n,\mathrm{\Delta }t=t/n$$

def trotter(n_steps, t=T):
    dt = t / n_steps
    u = np.eye(4, dtype=complex)
    ua, ub = expm_herm(A, dt), expm_herm(B, dt)
    for _ in range(n_steps):
        u = ub @ ua @ u
    return u

• 先算一次 ua, ub：每步同一 $\mathrm{\Delta }t$，不必在循环里对角化。
• u = ub @ ua @ u：右乘旧 $U$，即「再作用一层 $e^{-iA\mathrm{\Delta }t}$ 再 $e^{-iB\mathrm{\Delta }t}$」。次序 $B$ 在左、$A$ 在右，对应公式里 $e^{-iBdt}{e}^{-iAdt}$。
• np.eye(4)：从恒等开始。for _ in range(n_steps)：循环变量不用。

一阶误差理论上 $O(t^2/n)$（$[A,B]\ne 0$）。$n$ 加倍，失真应大致按幂律下降。

---

第4步：失真度 $1-|⟨{\psi }_{\mathrm{ex}}|{\psi }_{\mathrm{tr}}⟩{|}^2$

psi0 = np.array([1, 0, 0, 0], dtype=complex)  # |00⟩
psi_exact = u_exact @ psi0
infid.append(1.0 - np.abs(np.vdot(psi_exact, psi)) ** 2)
ax.loglog(steps, infid, 'o-')

• vdot：共轭点积 ${\psi }_{\mathrm{ex}}^{†}{\psi }_{\mathrm{tr}}$。普通 dot 对复数不共轭，会错。
• loglog：横纵都对数。步数 1,2,4,…,32 在对数轴上均匀。应看到近似直线往下。
• 终端 zip(steps.tolist(), np.round(infid, 6)) 打印对照表。

steps = np.array([1, 2, 4, 8, 16, 32]) 再 trotter(int(n))：loglog 要求正数；步数取 2 的幂，横坐标等间距。int(n) 因为数组元素可能是 np.int32，range 要 Python int（多数 NumPy 版本其实也能用，写成 int 更明确）。

初态 [1,0,0,0] 是 $|00⟩$，不是 Bell、不是叠加。横场 $B$ 会立刻把自旋打出计算基，所以即使用 1 步 Trotter，终态也已经「动过」——误差比「$B=0$ 时 $A$ 与 $H$ 对易、任意 $n$ 都精确」更可见。

没有随机电路、没有量子硬件噪声：误差纯粹来自 Trotter 劈裂。np.random.seed(42) 在本文件没有用到抽样。

---

关键概念速查表

概念	数学 / 直觉	代码
$A=JZZ$	对角相互作用	J * kron(Z,Z)
$B=h(XI+IX)$	横场	h * (XI+IX)
eigh	厄米对角化	expm_herm
$e^{-iMt}$	exp(-1j*w*t)	对角相位
Trotter	$(e^{-iBdt}{e}^{-iAdt}{)}^n$	ub @ ua @ u
$\mathrm{\Delta }t=T/n$	步数越多刀越薄	t / n_steps
失真度	$1-|\langle\mathrm	\mathrm{tr}\rangle|^2$
loglog	看幂律	trotter_error.png
vdot	复数内积	不要用 dot

源码位置

clone 后打开（相对仓库根目录）：

docs/quantum/simulation/code/demo.py