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as03 Neural Operator 与 FNO — exercise.py 练习指南

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练习目标

通过补全频域逐模式相乘、解析 Poisson 算子数据生成和最小 Fourier Layer 三个模块，从代码层面掌握 FNO 的核心计算单元。

预备知识

在开始练习前，确保你已经理解了以下概念（参见 demo.py 代码详解）：

卷积定理：时域卷积 = 频域逐点相乘
解析构造：若 $a = \sum c_{k} \sin (k π x)$ ，则 $u = \sum \frac{c_{k}}{(k π)^{2}} \sin (k π x)$
Fourier Layer： $h_{l + 1} = σ (SpectralConv (h_{l}) + W h_{l})$

任务清单

任务1：实现频域逐模式相乘 `spectral_multiply(x_ft, weight, modes)`

算法步骤：
1. 创建全零的 out_ft，形状 (batch, out_channels, n_freqs)，dtype 为 torch.cfloat
2. m = min(modes, n_freqs, weight.shape[2])
3. 用 torch.einsum('bik,iok->bok', x_ft[:,:,:m], weight[:,:,:m]) 做逐模式矩阵乘
4. 把结果写入 out_ft[:,:,:m]（更高频率保持为 0，即截断）
直觉：对每个保留的频率 $k$ ，把输入的 in_channels 维复向量线性变换成 out_channels 维复向量

任务2：实现解析 Poisson 对生成 `generate_poisson_pair(coeffs, x_grid)`

用到的公式：
- $a (x) = \sum_{k} c_{k} \sin (k π x)$
- $u (x) = \sum_{k} \frac{c_{k}}{(k π)^{2}} \sin (k π x)$
实现步骤：
1. k = np.arange(1, K+1)，basis = np.sin(np.outer(k, np.pi * x_grid))
2. a = coeffs @ basis，b = coeffs / (k * np.pi)**2，u = b @ basis
3. 若原始 coeffs 是一维，把输出压缩回一维
验证技巧：用有限差分检查 $- {\hat{u}}^{″} \approx a$ ，且 $u (0) = u (1) = 0$

任务3（Bonus）：实现 `MiniFourierLayer.forward`

算法步骤：
1. x_ft = torch.fft.rfft(x, dim=-1)
2. out_ft = spectral_multiply(x_ft, self.weight, self.modes)
3. x_spec = torch.fft.irfft(out_ft, n=x.shape[-1], dim=-1)
4. return F.gelu(x_spec + self.pointwise(x))
关键细节：irfft 的 n= 参数必须指定为原始空间长度，否则长度可能对不齐

验证标准

运行 python exercise.py：

test_spectral_multiply()：输出形状正确，且 modes 之后的频率分量为 0
test_poisson_pair()：边界条件满足，$ -u''\approx a$ 的残差足够小
test_mini_fourier_layer()（Bonus）：前向形状正确，且能正常 backward()

延伸思考

如果把 modes 设得非常小（比如 2），FNO 还能学好高频源项对应的解吗？为什么？
分辨率不变性是否意味着"任意高分辨率都精确"？截断高频会带来什么误差？
对比 as02 的 PINN：如果只有很少的 $(a, u)$ 对，但知道 PDE，你会优先选 PINN、FNO，还是下一章的 PINO？

源码位置

clone 后打开（相对仓库根目录）：

docs/science/fno/code/exercise.py