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as01 AI4S 全景 — exercise.py 练习指南 ​

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练习目标 ​

通过补全二阶中心差分、PDE 残差函数和制造解生成器三个模块，从代码层面掌握"PDE 残差"这一贯穿整个 AI4S 系列的核心概念，为下一章训练 PINN 打下基础。

预备知识 ​

在开始练习前，确保你已经理解了以下概念（参见 demo.py 代码详解 中的详细解释）：

  • 二阶中心差分公式：u″(xi)≈ui−1−2ui+ui+1Δx2
  • PDE 残差的定义：r(x)=−u″(x)−f(x)，真解应使 r(x)≈0
  • 制造解方法：先选定真解 u(x)，再反推源项 f(x)=−u″(x)，得到可验证的基准问题

任务清单 ​

任务1：实现二阶中心差分 second_derivative_fd(u_vals, dx) ​

  • 用到的公式：u″(xi)≈ui−1−2ui+ui+1Δx2
  • 实现步骤：
    1. 对内部点（数组切片 [1:-1]）应用中心差分公式
    2. 用 u_vals[:-2]（左邻居）、u_vals[1:-1]（自身）、u_vals[2:]（右邻居）三个切片对齐计算
    3. 边界两个端点因缺少邻居，保持为 0（不影响残差比较的结论）
  • 需要调用的函数：NumPy 数组切片、逐元素运算
  • 验证技巧：对 u(x)=x2，解析二阶导数处处为 2，可以用这个简单例子验证你的实现是否正确

任务2：实现 PDE 残差函数 pde_residual(u_vals, x_grid, f_func) ​

  • 用到的公式：r(x)=−u″(x)−f(x)
  • 实现步骤：
    1. 计算网格间距 dx = x_grid[1] - x_grid[0]
    2. 调用任务1中实现的 second_derivative_fd 得到 d2u
    3. 计算源项 f_vals = f_func(x_grid)
    4. 返回 r = -d2u - f_vals
  • 直觉理解：这个函数是一个通用工具——给定任意候选解（不管是猜的、拟合的，还是神经网络输出的），都能算出它violates 物理方程的程度

任务3（Bonus）：实现制造解生成器 manufacture_solution(k, n) ​

  • 数学背景：取真解 u(x)=sin⁡(kπx)（k 为正整数，自动满足边界条件），则：u″(x)=−(kπ)2sin⁡(kπx)⟹f(x)=−u″(x)=(kπ)2sin⁡(kπx)
  • 实现步骤：
    1. 用 np.linspace(0, 1, n) 生成网格 x
    2. 计算 u = np.sin(k * np.pi * x)
    3. 计算 f = (k * np.pi) ** 2 * np.sin(k * np.pi * x)
  • 直觉理解：k 越大，真解振荡越快，曲率也越大——你可以观察不同 k 值下解的形状差异（见 visualize_manufactured_solutions() 生成的预览图）

验证标准 ​

运行 python exercise.py：

  1. test_second_derivative()：对 u=x2，二阶差分结果应接近解析值 2.0
  2. test_pde_residual()：真解的残差 RMS 应远小于错解（振幅减半）的残差 RMS
  3. test_manufacture_solution()（Bonus）：k=1,2,3 时生成的 (u,f) 对应关系应满足 PDE，残差应接近 0

延伸思考 ​

  • 如果把网格点数 n 从 201 增大到 2001，真解的残差 RMS 会如何变化？（提示：二阶中心差分的误差量级是 O(Δx2)）
  • 如果候选解只是"振幅不对"（比如整体乘以 0.9），残差会如何随振幅误差变化？是线性关系还是其他关系？
  • 下一章 as02 中，PINN 会用自动微分代替这里的有限差分来计算 u″。你能想到自动微分相比有限差分的优势吗（提示：网格无关、精度、边界处理）？

源码位置 ​

clone 后打开（相对仓库根目录）：

docs/science/overview/code/exercise.py