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as02 PINN — exercise.py 练习指南 ​

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练习目标 ​

通过亲手实现自动微分求二阶导数、PINN 的复合损失函数、以及一个最小训练循环，掌握 PINN 训练的三大核心步骤，并直观验证"仅用 PDE 残差 + 边界条件就能训练出正确解"这一核心思想。

预备知识 ​

在开始练习前，确保你已经理解（参见 demo.py 代码详解）：

  • torch.autograd.grad(y, x, grad_outputs=torch.ones_like(y), create_graph=True)[0] 的用法
  • 二阶导数 = 对一阶导数再求一次导数，且必须两次都设置 create_graph=True
  • 复合损失：L=Lpde+λbcLbc

任务清单 ​

任务1：实现自动微分二阶导数 autograd_second_derivative(model, x) ​

  • 用到的工具：torch.autograd.grad
  • 实现步骤：
    1. 前向传播：u = model(x)
    2. 一阶导数：du_dx = torch.autograd.grad(u, x, grad_outputs=torch.ones_like(u), create_graph=True)[0]
    3. 二阶导数：对 du_dx 重复上一步操作
  • 验证技巧：文件里提供了 QuadraticProbe，它直接计算 u(x)=x2，解析二阶导数处处为 2 —— 可以用它验证你的实现是否正确，而不需要训练任何网络

任务2：实现复合损失函数 compute_total_loss(model, x_f, x_b, u_b_true, lambda_bc=10.0) ​

  • 用到的公式：L=Lpde+λbcLbc，其中 Lpde=mean(r(xf)2)，r(x)=−u″(x)−f(x)
  • 实现步骤：
    1. 调用任务1实现的函数得到 d2u_dx2
    2. 组装残差 residual = -d2u_dx2 - f_source(x_f)
    3. loss_pde = torch.mean(residual ** 2)
    4. u_b_pred = model(x_b)，loss_bc = torch.mean((u_b_pred - u_b_true) ** 2)
    5. loss_total = loss_pde + lambda_bc * loss_bc
  • 直觉理解：loss_pde 用到的每一个点都没有"标签"（不知道真实的 u 值），只知道它必须让残差趋近于 0；loss_bc 是唯一"知道真实数值"的部分（边界值已知为 0）

任务3（Bonus）：实现最小训练循环 train_mini_pinn(n_epochs=500, lr=1e-3) ​

  • 实现步骤：标准的 PyTorch 训练循环——optimizer.zero_grad() → 计算损失 → loss.backward() → optimizer.step()，循环 n_epochs 次，把每轮的 loss_total.item() 存入列表
  • 易错点：x_f 必须在训练循环外构造好，并设置 requires_grad_(True)；不要在循环内重新构造（否则每轮都要重新建图，也容易忘记设置 requires_grad）

验证标准 ​

运行 python exercise.py：

  1. test_second_derivative()：对 u(x)=x2，自动微分算出的二阶导数应接近解析值 2.0
  2. test_composite_loss()：loss_total 应严格等于 loss_pde + lambda_bc * loss_bc（数值验证），且两个子损失均非负
  3. test_training_reduces_loss()（Bonus）：训练 500 轮后，损失应降到初始值的 10% 以下

延伸思考 ​

  • 如果把 lambda_bc 从 10 调到 1，训练后网络在边界处的值会偏离 0 吗？试着修改 train_mini_pinn 观察结果。
  • 如果把激活函数从 Tanh 换成 ReLU，compute_total_loss 还能正常训练吗？为什么？（提示：想想 ReLU 的二阶导数是什么）
  • 本练习的配点是固定的均匀网格。如果改成每个 epoch 随机重新采样配点（而不是固定同一批），你觉得对最终精度会有什么影响？这在处理高维问题时通常是必需的技巧。

源码位置 ​

clone 后打开（相对仓库根目录）：

docs/science/pinn/code/exercise.py