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as04 PINO — demo.py 代码详解

Download demo.py

运行方式

cd docs/science/pino/code
python demo.py

CPU 即可；完整对比（含 4 个 PINN 实例）大约 1–3 分钟。

代码逐段详解

第1步：问题定义 —— 变系数扩散方程族

k_a(x) = 1 + a * sin(pi * x)
f(x)   = sin(pi * x)
# 求 -(k u')' = f, u(0)=u(1)=0

solve_variable_coeff_poisson(a) 用二阶有限体积格式组装三对角矩阵并 np.linalg.solve，得到数值精确解。后面 PINO 的可微残差使用同一套离散，避免「训练残差」和「评估真值」说的不是同一种物理。

第2步：PINN 基线（逐实例）

PINN 是输入 $x$、输出 $u(x)$ 的 MLP。train_pinn_for_a 用 torch.autograd.grad 求 $u^{\prime }$、$u^{″}$，代入展开后的残差

$$-(k^{\prime }{u}^{\prime }+k{u}^{″})-f=0$$

并惩罚边界。每个测试 $a$ 都从 SEED=42 重新初始化——公平，但慢。

第3步：共享的 FNO-lite 算子

SpectralConv1d：FFT → 只保留低频 modes 个模态 → 可学习复数线性混合 → IFFT。
FNO1d：升维 → 若干「谱卷积 + 1×1 卷积」残差块 → 降维。
输入通道是 $(k(x),x)$，输出是 $\hat{u}(x)$。

第4步：PINO = 同一网络 + 物理损失

loss = loss_data + (0.1 * loss_pde + 1.0 * loss_bc if use_physics else 0.0)

• use_physics=False, n_labeled_use=3 → FNO-few
• use_physics=False, n_labeled_use=11 → FNO-full
• use_physics=True, n_labeled_use=3 → PINO

pde_residual_and_bc 在半网格点上构造通量差，与数值求解器一致。

第5步：评估与可视化

在 $a\in \{1.5,2.5\}$（插值）和 $\{3.4,4.0\}$（外推）上比较相对 $L^2$ 误差，并画出：

文件	内容
as04-01-pino-idea.png	三种范式概念图
pino_comparison.png	预测曲线
pino_error_and_cost.png	误差 + 上线耗时
pino_training_loss.png	算子训练损失

关键概念速查表

概念	含义	代码位置
算子学习	学 $k\mapsto u$，而非单个 $u(x)$	FNO1d
数据损失	只在标注 $a$ 上监督	train_operator
PDE 残差	无标签 $a$ 也能提供梯度	pde_residual_and_bc
外推	测试 $a$ 超出训练范围	A_TEST 中 $>3$ 的点

源码位置

clone 后打开（相对仓库根目录）：

docs/science/pino/code/demo.py